Номер 16.29, страница 103 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.29, страница 103.

Условие.

16.29*. В цилиндрическом сердечнике радиусом $\text{R}$ создано однородное магнитное поле, направленное вдоль оси цилиндра. Индукция магнитного поля изменяется со временем по закону $B = kt$. Найдите напряженность $\text{E}$ вихревого электрического поля на расстоянии $\text{r}$ от оси цилиндра.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Цилиндрический сердечник радиусом $\text{R}$.

Индукция магнитного поля: $B = kt$, где $\text{k}$ – постоянная, $\text{t}$ – время.

Магнитное поле однородно и направлено вдоль оси цилиндра.

Найти:

Напряженность $\text{E}$ вихревого электрического поля на расстоянии $\text{r}$ от оси цилиндра.

Решение:

Изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле. Связь между ними описывается законом электромагнитной индукции Фарадея в интегральной форме (одно из уравнений Максвелла):

$\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$

где $\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l}$ – циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру $\text{L}$, а $\Phi_B$ – магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром.

В силу осевой симметрии задачи, силовые линии вихревого электрического поля представляют собой окружности, центры которых лежат на оси цилиндра. Вектор напряженности $\vec{E}$ в любой точке направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку, и его модуль $\text{E}$ зависит только от расстояния $\text{r}$ до оси.

В качестве контура интегрирования $\text{L}$ выберем окружность радиусом $\text{r}$, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Тогда циркуляция вектора $\vec{E}$ равна:

$\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = E \cdot 2\pi r$

Магнитный поток $\Phi_B$ через поверхность, ограниченную этим контуром, зависит от соотношения между $\text{r}$ и $\text{R}$. Рассмотрим два случая.

1. На расстоянии $r \le R$ (внутри сердечника)

В этом случае магнитное поле пронизывает всю площадь круга радиусом $\text{r}$. Магнитный поток равен:

$\Phi_B = B \cdot S = (kt) \cdot (\pi r^2)$

Скорость изменения магнитного потока:

$\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt}(kt \pi r^2) = k\pi r^2$

Приравнивая модули циркуляции и скорости изменения потока:

$E \cdot 2\pi r = k\pi r^2$

Отсюда находим напряженность электрического поля:

$E = \frac{k\pi r^2}{2\pi r} = \frac{kr}{2}$

2. На расстоянии $r > R$ (вне сердечника)

В этом случае магнитное поле существует только внутри сердечника, то есть на площади круга радиусом $\text{R}$. Поэтому магнитный поток через контур радиусом $\text{r}$ равен потоку через сечение сердечника:

$\Phi_B = B \cdot S_R = (kt) \cdot (\pi R^2)$

Скорость изменения магнитного потока:

$\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt}(kt \pi R^2) = k\pi R^2$

Приравнивая модули циркуляции и скорости изменения потока:

$E \cdot 2\pi r = k\pi R^2$

Отсюда находим напряженность электрического поля:

$E = \frac{k\pi R^2}{2\pi r} = \frac{kR^2}{2r}$

Объединяя оба случая, получаем зависимость напряженности поля от расстояния до оси.

Ответ: $E = \begin{cases} \frac{kr}{2}, & \text{при } r \le R \\ \frac{kR^2}{2r}, & \text{при } r > R \end{cases}$