Номер 16.23, страница 102 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.23, страница 102.

Условие.

16.23** Виток изолированного провода изогнут в виде восьмерки (см. рисунок), так что $r_1 = 20$ мм и $r_2 = 60$ мм. В течение промежутка времени $\Delta t = 0,50$ мс однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости витка, равномерно возрастает от нуля до $B = 5$ Тл. На какое напряжение $\text{U}$ должна быть рассчитана изоляция между проводами, чтобы не произошел ее пробой?

К задаче 16.23

Решение.

Решение 2.

Дано:

$r_1 = 20$ мм = $2 \cdot 10^{-2}$ м
$r_2 = 60$ мм = $6 \cdot 10^{-2}$ м
$\Delta t = 0,50$ мс = $0,50 \cdot 10^{-3}$ с = $5 \cdot 10^{-4}$ с
$\Delta B = 5$ Тл (магнитное поле возрастает от 0 до 5 Тл)

Найти:

$\text{U}$ — напряжение, на которое должна быть рассчитана изоляция.

Решение:

При изменении магнитного потока через замкнутый контур в нем, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, возникает электродвижущая сила (ЭДС). Виток в виде восьмерки можно рассматривать как два контура — малый (с радиусом $r_1$) и большой (с радиусом $r_2$), соединенных в точке пересечения.

Так как провод является единым, при обходе контура в одном направлении (например, по часовой стрелке в малом контуре), обход в большом контуре будет происходить в противоположном направлении (против часовой стрелки). Из-за этого направления индуцируемых ЭДС в двух петлях будут противоположны.

Магнитное поле однородно и перпендикулярно плоскости витка, поэтому магнитный поток через каждую петлю равен $\Phi = B \cdot S$, где $\text{S}$ — площадь петли.

Величина ЭДС, индуцируемой в каждой петле, определяется как скорость изменения магнитного потока:

$\mathcal{E} = \left| -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| = S \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Для малой петли: $\mathcal{E}_1 = S_1 \frac{\Delta B}{\Delta t} = \pi r_1^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Для большой петли: $\mathcal{E}_2 = S_2 \frac{\Delta B}{\Delta t} = \pi r_2^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Поскольку $r_2 > r_1$, то $\mathcal{E}_2 > \mathcal{E}_1$. В контуре потечет ток, направление которого будет определяться большей ЭДС, $\mathcal{E}_2$. Суммарная (чистая) ЭДС в контуре равна:

$\mathcal{E}_{net} = \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1 = \pi(r_2^2 - r_1^2)\frac{\Delta B}{\Delta t}$

Пусть $R_1$ и $R_2$ — сопротивления малого и большого участков провода соответственно. Сопротивление провода пропорционально его длине: $R_1 = \lambda \cdot 2\pi r_1$ и $R_2 = \lambda \cdot 2\pi r_2$, где $\lambda$ — сопротивление единицы длины провода. Общее сопротивление витка $R_{total} = R_1 + R_2$.

Сила тока в витке: $I = \frac{\mathcal{E}_{net}}{R_{total}} = \frac{\mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1}{R_1 + R_2}$.

Напряжение $\text{U}$, которое должна выдержать изоляция, равно разности потенциалов между двумя участками провода в точке их пересечения. Эту разность потенциалов можно найти, рассмотрев любой из двух контуров. Например, для большого контура разность потенциалов на его "концах" (в точке пересечения) равна ЭДС этого контура минус падение напряжения на его сопротивлении:

$U = \mathcal{E}_2 - I R_2$

Подставим выражение для тока $\text{I}$:

$U = \mathcal{E}_2 - \frac{\mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1}{R_1 + R_2} R_2 = \frac{\mathcal{E}_2(R_1 + R_2) - (\mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1)R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\mathcal{E}_2 R_1 + \mathcal{E}_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Теперь подставим выражения для ЭДС и сопротивлений:

$U = \frac{(\pi r_2^2 \frac{\Delta B}{\Delta t})(\lambda 2\pi r_1) + (\pi r_1^2 \frac{\Delta B}{\Delta t})(\lambda 2\pi r_2)}{\lambda 2\pi r_1 + \lambda 2\pi r_2}$

Сократим общие множители $\lambda 2\pi$:

$U = \frac{\pi \frac{\Delta B}{\Delta t} (r_2^2 r_1 + r_1^2 r_2)}{r_1 + r_2} = \frac{\pi \frac{\Delta B}{\Delta t} r_1 r_2 (r_2 + r_1)}{r_1 + r_2}$

В итоге получаем простую формулу:

$U = \pi r_1 r_2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{5 \text{ Тл}}{5 \cdot 10^{-4} \text{ с}} = 10^4 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

$U = \pi \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м}) \cdot (6 \cdot 10^{-2} \text{ м}) \cdot (10^4 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}) = \pi \cdot 12 \cdot 10^{-4} \cdot 10^4 \text{ В} = 12\pi \text{ В}$

$U \approx 12 \cdot 3,14159 \text{ В} \approx 37,7 \text{ В}$

С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округляем результат.

Ответ: $U \approx 38$ В.