Номер 16.18, страница 101 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.18, страница 101.

Условие.

16.18*. Замкнутый изолированный провод длиной $l = 4.0 \text{ м}$ расположен по периметру круглой горизонтальной площадки. Какой заряд $\text{q}$ пройдет через провод, если его сложить вдвое? Сопротивление провода $R = 2.0 \text{ Ом}$, вертикальная составляющая магнитного поля Земли $B_z = 50 \text{ мкТл}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 4,0 \text{ м}$

$R = 2,0 \text{ Ом}$

$B_z = 50 \text{ мкТл}$

Перевод в СИ:

$B_z = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}$

Найти:

$\text{q}$

Решение:

При изменении формы замкнутого проводника, находящегося в магнитном поле, изменяется магнитный поток, пронизывающий контур проводника. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это изменение магнитного потока $ΔΦ$ за время $Δt$ приводит к возникновению в проводнике ЭДС индукции $ε_i$:

$ε_i = - \frac{ΔΦ}{Δt}$

Эта ЭДС создает в проводнике с сопротивлением $\text{R}$ индукционный ток $\text{I}$, сила которого определяется законом Ома для полной цепи:

$I = \frac{ε_i}{R} = - \frac{1}{R} \frac{ΔΦ}{Δt}$

Заряд $\text{q}$, который пройдет через поперечное сечение проводника за время $Δt$, равен произведению силы тока на это время:

$q = I \cdot Δt$

Подставив выражение для силы тока, получим связь между прошедшим зарядом и изменением магнитного потока:

$q = \left(- \frac{1}{R} \frac{ΔΦ}{Δt}\right) \cdot Δt = - \frac{ΔΦ}{R}$

Величина прошедшего заряда равна модулю этого выражения:

$q = \frac{|ΔΦ|}{R} = \frac{|Φ_2 - Φ_1|}{R}$

где $Φ_1$ и $Φ_2$ – начальный и конечный магнитные потоки соответственно.

Поскольку провод расположен на горизонтальной площадке, а $B_z$ – вертикальная составляющая магнитного поля, то магнитный поток через контур можно рассчитать по формуле $Φ = B_z \cdot S$, где $\text{S}$ – площадь, охватываемая контуром.

1. Начальное состояние.

Изначально провод длиной $\text{l}$ образует окружность. Длина окружности связана с ее радиусом $r_1$ соотношением $l = 2πr_1$. Отсюда находим начальный радиус:

$r_1 = \frac{l}{2π}$

Площадь этой окружности $S_1$ равна:

$S_1 = πr_1^2 = π \left(\frac{l}{2π}\right)^2 = \frac{πl^2}{4π^2} = \frac{l^2}{4π}$

Тогда начальный магнитный поток $Φ_1$ равен:

$Φ_1 = B_z S_1 = \frac{B_z l^2}{4π}$

2. Конечное состояние.

Провод "сложили вдвое". Это можно интерпретировать как складывание контура пополам (например, по диаметру) или скручивание в "восьмерку". В любом из этих случаев эффективная площадь, пронизываемая магнитным полем, становится равной нулю ($S_2 = 0$).

Следовательно, конечный магнитный поток $Φ_2$ также равен нулю:

$Φ_2 = B_z S_2 = 0$

3. Расчет заряда.

Теперь мы можем найти изменение магнитного потока:

$|ΔΦ| = |Φ_2 - Φ_1| = |0 - \frac{B_z l^2}{4π}| = \frac{B_z l^2}{4π}$

Подставим это выражение в формулу для заряда:

$q = \frac{|ΔΦ|}{R} = \frac{B_z l^2}{4πR}$

Выполним вычисления:

$q = \frac{50 \cdot 10^{-6} \text{ Тл} \cdot (4,0 \text{ м})^2}{4π \cdot 2,0 \text{ Ом}} = \frac{50 \cdot 10^{-6} \cdot 16}{8π} \text{ Кл} = \frac{100 \cdot 10^{-6}}{π} \text{ Кл}$

$q \approx 31,83 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$q \approx 32 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 32 \text{ мкКл}$

Ответ: $q = 32 \text{ мкКл}$.