Номер 16.11, страница 100 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.11, страница 100.

Условие.

16.11*. По сверхпроводящему проводу, имеющему форму кольца радиусом $\text{r}$, идет ток. Индукция магнитного поля в центре кольца равна $B_0$. Проводу придают форму, показанную на рисунке. Какова теперь индукция $\text{B}$ магнитного поля в центре уменьшенного кольца?

Решение.

Решение 2.

Дано

Начальная форма провода: кольцо радиусом $\text{r}$.
Начальная индукция магнитного поля в центре: $B_0$.
Конечная форма провода: кольцо радиусом $r' = r/2$ и длинный прямой участок.
Провод сверхпроводящий.

Найти

Конечная индукция магнитного поля в центре уменьшенного кольца: $\text{B}$.

Решение

В начальном состоянии по сверхпроводящему кольцу радиусом $\text{r}$ течет ток, который мы обозначим $I_0$. Индукция магнитного поля в центре такого кольца определяется по формуле: $B_0 = \frac{\mu_0 I_0}{2r}$, где $\mu_0$ — магнитная постоянная.

Поскольку провод является сверхпроводящим, при изменении его формы полный магнитный поток $\Phi$, пронизывающий замкнутый контур, остается постоянным. Это свойство сверхпроводящих контуров. Магнитный поток самоиндукции связан с током $\text{I}$ и индуктивностью контура $\text{L}$ соотношением $\Phi = L I$. Таким образом, для начального и конечного состояний выполняется равенство: $\Phi_0 = \Phi_f$, или $L_0 I_0 = L_f I_f$, где $L_0$ и $I_0$ — начальные индуктивность и ток, а $L_f$ и $I_f$ — конечные.

Индуктивность контура в основном определяется площадью, которую он охватывает. В конечном состоянии контур состоит из кольца радиусом $r_f = r/2$ и длинного прямого участка. Прямой участок представляет собой два близко расположенных провода с противоположно направленными токами, поэтому его вклад в общую индуктивность контура пренебрежимо мал по сравнению с вкладом кольцевой части. Таким образом, можно считать, что конечная индуктивность $L_f$ определяется только индуктивностью малого кольца.

Индуктивность тонкого проволочного кольца радиусом $\text{R}$ приблизительно пропорциональна его радиусу ($L \propto R$). Следовательно, отношение конечной и начальной индуктивностей можно оценить как отношение их радиусов: $\frac{L_f}{L_0} \approx \frac{r_f}{r_0} = \frac{r/2}{r} = \frac{1}{2}$. Отсюда $L_f \approx \frac{L_0}{2}$.

Теперь найдем новый ток $I_f$ из закона сохранения магнитного потока: $L_0 I_0 = L_f I_f \approx \frac{L_0}{2} I_f$ $I_f \approx 2 I_0$. Таким образом, ток в контуре увеличился примерно в 2 раза.

Индукция нового магнитного поля $\text{B}$ в центре уменьшенного кольца создается током $I_f$ в кольцевой части радиусом $r_f = r/2$. Вкладом от прямого участка можно пренебречь, так как магнитные поля от двух его проводов с противоположными токами в центре кольца практически полностью компенсируют друг друга. $B = \frac{\mu_0 I_f}{2r_f} = \frac{\mu_0 (2 I_0)}{2(r/2)} = \frac{2 \mu_0 I_0}{r}$.

Выразим полученное значение через начальную индукцию $B_0$. Из начального условия $B_0 = \frac{\mu_0 I_0}{2r}$ следует, что $\frac{\mu_0 I_0}{r} = 2 B_0$. Подставим это выражение в формулу для $\text{B}$: $B = 2 \left( \frac{\mu_0 I_0}{r} \right) = 2 (2 B_0) = 4 B_0$.

Ответ: $B = 4B_0$.