Номер 16.14, страница 101 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.14, страница 101.

Условие.

16.14*. Катушку радиусом $r = 3,0$ см с числом витков $n = 1000$ помещают в однородное магнитное поле (ось катушки параллельна линиям поля). Индукция поля изменяется с постоянной скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 10$ мТл/с. Какой заряд $\text{q}$ будет на конденсаторе, подключенном к концам катушки? Емкость конденсатора $C = 20$ мкФ.

Решение.

Решение 2.

Дано:

r = 3,0 см = 3,0 · 10⁻² м

n = 1000

$\frac{ΔB}{Δt} = 10 \text{ мТл/с} = 10 · 10⁻³ \text{ Тл/с} = 10⁻² \text{ Тл/с}$

C = 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф

Найти:

q - ?

Решение:

Из-за изменения индукции магнитного поля изменяется магнитный поток, пронизывающий катушку. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в катушке возникает ЭДС индукции ($ε_i$):

$ε_i = - \frac{ΔΦ}{Δt}$

Магнитный поток $Φ$ через катушку, имеющую $\text{n}$ витков, определяется как:

$Φ = nBS\cos(α)$

где $\text{B}$ — индукция магнитного поля, $\text{S}$ — площадь одного витка, а $α$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витка. По условию задачи, ось катушки параллельна линиям поля, следовательно, $α = 0$ и $\cos(0) = 1$.

Площадь одного витка, имеющего форму круга, равна:

$S = πr^2$

Таким образом, выражение для магнитного потока принимает вид:

$Φ = nBπr^2$

Так как изменяется только индукция магнитного поля $\text{B}$, то модуль ЭДС индукции равен:

$|ε_i| = |\frac{Δ(nBπr^2)}{Δt}| = nπr^2 |\frac{ΔB}{Δt}|$

Эта ЭДС индукции является напряжением на концах катушки. Так как к катушке подключен конденсатор, то напряжение на конденсаторе $\text{U}$ будет равно модулю ЭДС индукции:

$U = |ε_i| = nπr^2 \frac{ΔB}{Δt}$

Заряд $\text{q}$ на конденсаторе емкостью $\text{C}$ при напряжении $\text{U}$ определяется по формуле:

$q = CU$

Подставляя выражение для напряжения, получаем итоговую формулу для заряда:

$q = C · nπr^2 · \frac{ΔB}{Δt}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$q = (20 · 10⁻⁶ \text{ Ф}) · 1000 · π · (3,0 · 10⁻² \text{ м})² · (10⁻² \text{ Тл/с})$

$q = 20 · 10⁻⁶ · 10³ · π · 9 · 10⁻⁴ · 10⁻² \text{ Кл}$

$q = (20 · 9) · π · 10^{(-6+3-4-2)} \text{ Кл}$

$q = 180 · π · 10⁻⁹ \text{ Кл} = 1,8 · π · 10⁻⁷ \text{ Кл}$

$q ≈ 1,8 · 3,14159 · 10⁻⁷ \text{ Кл} ≈ 5,65 · 10⁻⁷ \text{ Кл}$

Этот результат можно выразить в микрокулонах:

$q ≈ 0,565 \text{ мкКл}$

Ответ:

Заряд на конденсаторе будет равен $q ≈ 5,65 · 10⁻⁷ \text{ Кл}$ (или 0,565 мкКл).