Номер 16.16, страница 101 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.16, страница 101.

Условие.

16.16*. В замкнутую накоротко катушку вводят магнит: один раз быстро, а другой — медленно. Одинаковый ли заряд проходит по цепи в обоих случаях? Одинаковое ли количество теплоты выделяется?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Замкнутая накоротко катушка с сопротивлением $\text{R}$.
В катушку вносят магнит, изменяя магнитный поток от начального значения $\Phi_1$ до конечного $\Phi_2$.
Полное изменение потока в обоих случаях одинаково: $\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1$.
Случай 1: магнит вносят быстро, за время $\Delta t_1$.
Случай 2: магнит вносят медленно, за время $\Delta t_2$.
При этом $\Delta t_1 < \Delta t_2$.

Найти:

1. Сравнить полный заряд $q_1$ и $q_2$, прошедший через катушку в обоих случаях.
2. Сравнить количество теплоты $Q_1$ и $Q_2$, выделившееся в катушке в обоих случаях.

Решение:

Одинаковый ли заряд проходит по цепи в обоих случаях?

При изменении магнитного потока $\Phi$ через контур катушки в ней, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$:
$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt}$
Эта ЭДС создает в замкнутой катушке индукционный ток $\text{I}$. По закону Ома для полной цепи сила тока равна:
$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = - \frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$
где $\text{R}$ – сопротивление катушки.
Сила тока по определению – это скорость прохождения заряда через поперечное сечение проводника: $I = \frac{dq}{dt}$.
Приравнивая два выражения для силы тока, получаем:
$\frac{dq}{dt} = - \frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$
Отсюда можно выразить элементарный заряд $\text{dq}$, который проходит за малое время $\text{dt}$:
$dq = - \frac{1}{R} d\Phi$
Чтобы найти полный заряд $\text{q}$, прошедший по цепи за все время движения магнита, нужно проинтегрировать это выражение по всему изменению потока от начального значения $\Phi_1$ до конечного $\Phi_2$:
$q = \int dq = \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} - \frac{1}{R} d\Phi = - \frac{1}{R} (\Phi_2 - \Phi_1) = - \frac{\Delta \Phi}{R}$
Из полученной формулы видно, что полный заряд, прошедший через катушку, зависит только от полного изменения магнитного потока $\Delta \Phi$ и сопротивления катушки $\text{R}$. Поскольку начальное и конечное положения магнита в обоих случаях (быстром и медленном) одинаковы, то и изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ будет одинаковым. Сопротивление катушки $\text{R}$ также не меняется. Следовательно, полный заряд, прошедший по цепи, в обоих случаях будет одинаковым.

Ответ: Да, заряд, проходящий по цепи, в обоих случаях одинаковый.

Одинаковое ли количество теплоты выделяется?

Количество теплоты $\text{Q}$, выделяющееся в катушке, определяется законом Джоуля–Ленца. Мгновенная тепловая мощность равна $P = I^2 R$. Полное количество теплоты за время процесса $\Delta t$ равно интегралу от мощности по времени:
$Q = \int_0^{\Delta t} P dt = \int_0^{\Delta t} I^2 R dt$
Подставим выражение для силы тока $I = - \frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$:
$Q = \int_0^{\Delta t} \left(-\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}\right)^2 R dt = \frac{1}{R} \int_0^{\Delta t} \left(\frac{d\Phi}{dt}\right)^2 dt$
Величина $\frac{d\Phi}{dt}$ – это скорость изменения магнитного потока. При быстром введении магнита (за время $\Delta t_1$) эта скорость в среднем больше, чем при медленном введении (за время $\Delta t_2$), так как $\Delta t_1 < \Delta t_2$, а общее изменение потока $\Delta \Phi$ одинаково. Соответственно, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ и сила тока $\text{I}$ при быстром движении будут больше, чем при медленном.
Сравним количество теплоты. Если для простоты аппроксимировать скорость изменения потока постоянной величиной в каждом случае, то:
В первом случае (быстро): $(\frac{d\Phi}{dt})_1 \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta t_1}$. Количество теплоты $Q_1$:
$Q_1 \approx \frac{1}{R} \left(\frac{\Delta \Phi}{\Delta t_1}\right)^2 \Delta t_1 = \frac{(\Delta \Phi)^2}{R \cdot \Delta t_1}$
Во втором случае (медленно): $(\frac{d\Phi}{dt})_2 \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta t_2}$. Количество теплоты $Q_2$:
$Q_2 \approx \frac{1}{R} \left(\frac{\Delta \Phi}{\Delta t_2}\right)^2 \Delta t_2 = \frac{(\Delta \Phi)^2}{R \cdot \Delta t_2}$
Поскольку $\Delta t_1 < \Delta t_2$, то $\frac{1}{\Delta t_1} > \frac{1}{\Delta t_2}$, и, следовательно, $Q_1 > Q_2$.
Этот же вывод можно сделать из закона сохранения энергии. Выделяемая в катушке теплота равна механической работе, совершаемой внешней силой для преодоления силы магнитного отталкивания. По правилу Ленца, индукционный ток создает магнитное поле, которое противодействует движению магнита. Сила этого противодействия $\text{F}$ пропорциональна силе индукционного тока ($F \propto I$). В свою очередь, ток пропорционален скорости движения магнита $\text{v}$ ($I \propto \mathcal{E}_i \propto \frac{d\Phi}{dt} \propto v$). Таким образом, сила сопротивления движению магнита больше при большей скорости ($F \propto v$). Работа $W = \int F dx$ на одном и том же пути будет больше там, где больше сила, то есть при быстром движении. Так как по закону сохранения энергии $Q = W$, то и теплоты выделится больше при быстром введении магнита.

Ответ: Нет, количество теплоты, выделяемое в цепи, не одинаковое. При быстром введении магнита выделяется больше теплоты, чем при медленном.