Номер 16.10, страница 100 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.10, страница 100.

Условие.

16.10*. Сверхпроводящая катушка радиусом $\text{r}$ состоит из $\text{N}$ витков и имеет индуктивность $\text{L}$. Найдите силу тока $\text{I}$, возникающего в катушке с замкнутыми концами при включении внешнего однородного магнитного поля с индукцией $\text{B}$, направленной вдоль оси катушки.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус катушки: $\text{r}$

Число витков: $\text{N}$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Индукция внешнего магнитного поля: $\text{B}$

Найти:

Сила тока: $\text{I}$

Решение:

Катушка является сверхпроводящей, что означает, что её электрическое сопротивление равно нулю ($R=0$). Для замкнутого сверхпроводящего контура полный магнитный поток, пронизывающий его, должен оставаться постоянным. Это следует из закона электромагнитной индукции Фарадея $ε_{инд} = - \frac{dΦ}{dt}$ и закона Ома для полной цепи $ε_{инд} = IR$. Так как $R=0$, то и ЭДС индукции $ε_{инд}$ должна быть равна нулю (при конечном токе $\text{I}$). Следовательно, $\frac{dΦ}{dt} = 0$, что означает $Φ = \text{const}$.

В начальном состоянии, до включения внешнего магнитного поля, ток в катушке отсутствовал, и магнитный поток через нее был равен нулю.

$Φ_{начальный} = 0$

После включения внешнего однородного магнитного поля с индукцией $\text{B}$, направленной вдоль оси катушки, появляется магнитный поток от этого поля. Площадь одного витка катушки $S = πr^2$. Поток внешнего поля через $\text{N}$ витков катушки равен:

$Φ_{внеш} = N \cdot B \cdot S = N B πr^2$

Из-за изменения магнитного потока в катушке возникает индукционный ток $\text{I}$. Этот ток создает собственное магнитное поле и собственный магнитный поток (поток самоиндукции) $Φ_{самоинд}$. По определению, он связан с индуктивностью $\text{L}$ и силой тока $\text{I}$ соотношением:

$Φ_{самоинд} = L I$

Согласно правилу Ленца, индукционный ток будет иметь такое направление, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал изменению внешнего магнитного потока. То есть, поток самоиндукции будет направлен противоположно потоку внешнего поля, чтобы скомпенсировать его и сохранить полный поток неизменным.

Таким образом, полный магнитный поток $Φ_{конечный}$ в катушке после включения поля равен разности потока от внешнего поля и потока самоиндукции:

$Φ_{конечный} = Φ_{внеш} - Φ_{самоинд} = N B πr^2 - L I$

Используя закон сохранения магнитного потока для сверхпроводящего контура, приравниваем начальный и конечный потоки:

$Φ_{начальный} = Φ_{конечный}$

$0 = N B πr^2 - L I$

Из этого уравнения находим силу тока $\text{I}$:

$L I = N B πr^2$

$I = \frac{N B πr^2}{L}$

Ответ: $I = \frac{N B πr^2}{L}$