Номер 16.12, страница 100 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.12, страница 100.

Условие.

16.12*. Сверхпроводящее кольцо с током перекручивают, превращая его в «восьмерку» из двух одинаковых колец (см. рисунок). Затем «восьмерку» складывают так, что получается одно «двойное» кольцо. Как изменится индукция магнитного поля в центре кольца по сравнению с первоначальной?

Решение.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим начальное и конечное состояния сверхпроводящего кольца. Ключевым свойством сверхпроводника является сохранение полного магнитного потока, пронизывающего контур.

1. Начальное состояние.

Пусть изначально кольцо имеет радиус $R_1$, и по нему течет ток $I_1$. Длина провода, из которого сделано кольцо, составляет $l = 2\pi R_1$.

Индукция магнитного поля в центре такого кольца определяется формулой:

$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R_1}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная.

Магнитный поток, связанный с контуром, равен $\Phi_1 = L_1 I_1$, где $L_1$ — индуктивность начального кольца. Этот поток сохраняется в процессе всех деформаций.

2. Конечное состояние.

После перекручивания в «восьмерку» и складывания, исходный проводник длиной $\text{l}$ образует «двойное» кольцо, то есть катушку из $N=2$ витков.

Найдем радиус $R_2$ витков в этом двойном кольце. Общая длина провода $\text{l}$ теперь распределена на два витка, поэтому длина одного витка равна $l/2$.

$2\pi R_2 = \frac{l}{2} = \frac{2\pi R_1}{2} = \pi R_1$

Отсюда находим новый радиус: $R_2 = \frac{R_1}{2}$.

Из рисунка видно, что направление обхода контура в обеих петлях «восьмерки» одинаковое. Поэтому при складывании ток в обоих витках двойного кольца будет течь в одном направлении.

3. Изменение индуктивности и тока.

Индуктивность катушки из $\text{N}$ близко расположенных витков радиусом $\text{R}$ можно считать пропорциональной $N^2 R$. Это следует из того, что индуктивность катушки примерно в $N^2$ раз больше индуктивности одного витка того же радиуса, а индуктивность одиночного витка (для тонкого провода) приближенно пропорциональна его радиусу.

Начальная индуктивность: $L_1 \propto R_1$.

Конечная индуктивность $L_2$ для катушки из $N=2$ витков радиусом $R_2$:

$L_2 \propto N^2 R_2 = 2^2 \cdot R_2 = 4 \cdot \frac{R_1}{2} = 2R_1$.

Следовательно, можно приближенно считать, что индуктивность контура удвоилась: $L_2 \approx 2L_1$.

Так как магнитный поток сохраняется ($\Phi_1 = \Phi_2$), то:

$L_1 I_1 = L_2 I_2$

$L_1 I_1 \approx (2L_1) I_2$

Отсюда находим новый ток в проводе: $I_2 \approx \frac{I_1}{2}$.

4. Расчет конечной индукции магнитного поля.

Индукция магнитного поля в центре катушки из $\text{N}$ витков определяется формулой:

$B_2 = N \frac{\mu_0 I_2}{2R_2}$

Подставим значения для конечного состояния: $N=2$, $I_2 \approx I_1/2$, $R_2 = R_1/2$.

$B_2 \approx 2 \cdot \frac{\mu_0 (I_1/2)}{2(R_1/2)} = 2 \cdot \frac{\mu_0 I_1 / 2}{R_1} = \frac{\mu_0 I_1}{R_1}$.

5. Сравнение индукций.

Найдем отношение конечной индукции $B_2$ к начальной $B_1$:

$\frac{B_2}{B_1} \approx \frac{\mu_0 I_1 / R_1}{\mu_0 I_1 / (2R_1)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Таким образом, индукция магнитного поля в центре кольца увеличится в 2 раза.

Ответ: Индукция магнитного поля в центре кольца увеличится в 2 раза.