Номер 16.17, страница 101 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.17, страница 101.

Условие.

16.17*. Катушка радиусом $\text{r}$ с числом витков $\text{n}$ и сопротивлением $\text{R}$ находится в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$. Ось катушки направлена вдоль линий поля. Концы катушки замкнуты. Какой заряд $\text{q}$ пройдет через катушку, если повернуть ее ось на угол $\alpha$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус катушки: $\text{r}$

Число витков: $\text{n}$

Сопротивление катушки: $\text{R}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Угол поворота оси катушки: $\alpha$

Найти:

Заряд, прошедший через катушку: $\text{q}$

Решение:

Когда катушку поворачивают в магнитном поле, изменяется магнитный поток, пронизывающий ее. Это изменение магнитного потока, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, приводит к возникновению электродвижущей силы (ЭДС) индукции в катушке. Поскольку концы катушки замкнуты, под действием этой ЭДС в ней возникает индукционный ток.

Магнитный поток $ \Phi $ через катушку, состоящую из $ n $ витков, площадью $ S $ каждый, определяется формулой:

$ \Phi = nBS \cos(\theta) $

где $ \theta $ — угол между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и нормалью к плоскости витка (т.е. осью катушки).

Площадь одного витка катушки радиусом $ r $ равна $ S = \pi r^2 $.

В начальном положении ось катушки направлена вдоль линий поля, следовательно, угол $ \theta_1 = 0 $. Начальный магнитный поток $ \Phi_1 $ равен:

$ \Phi_1 = nB(\pi r^2) \cos(0) = nB\pi r^2 $

После поворота оси катушки на угол $ \alpha $, конечный угол становится $ \theta_2 = \alpha $. Конечный магнитный поток $ \Phi_2 $ равен:

$ \Phi_2 = nB(\pi r^2) \cos(\alpha) $

Изменение магнитного потока $ \Delta\Phi $ за время поворота составляет:

$ \Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = nB\pi r^2 \cos(\alpha) - nB\pi r^2 = nB\pi r^2 (\cos(\alpha) - 1) $

Согласно закону Фарадея, мгновенное значение ЭДС индукции $ \mathcal{E}_{ind} $ равно:

$ \mathcal{E}_{ind} = - \frac{d\Phi}{dt} $

По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток $ I_{ind} $ в катушке равен:

$ I_{ind} = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R} = - \frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dt} $

Заряд $ q $, прошедший через поперечное сечение проводника катушки, можно найти, проинтегрировав ток по времени поворота. Из определения тока $ I_{ind} = \frac{dq}{dt} $, следует, что $ dq = I_{ind} dt $. Подставим выражение для тока:

$ dq = - \frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dt} dt = - \frac{1}{R}d\Phi $

Проинтегрировав это выражение, получим полный заряд, прошедший через катушку:

$ q = \int dq = \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} - \frac{1}{R}d\Phi = - \frac{1}{R}(\Phi_2 - \Phi_1) = - \frac{\Delta\Phi}{R} $

Нас интересует абсолютная величина заряда, поэтому:

$ q = \left| - \frac{\Delta\Phi}{R} \right| = \frac{|\Delta\Phi|}{R} $

Подставим выражение для $ \Delta\Phi $:

$ q = \frac{|nB\pi r^2 (\cos(\alpha) - 1)|}{R} $

Поскольку значение $ \cos(\alpha) $ не превышает 1, выражение $ (\cos(\alpha) - 1) $ является неположительным. Следовательно, его модуль равен $ |\cos(\alpha) - 1| = -( \cos(\alpha) - 1) = 1 - \cos(\alpha) $.

Таким образом, итоговая формула для заряда:

$ q = \frac{nB\pi r^2 (1 - \cos(\alpha))}{R} $

Ответ: $ q = \frac{nB\pi r^2(1 - \cos \alpha)}{R} $.