Номер 16.24, страница 102 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.24, страница 102.

Условие.

16.24**. Катушка имеет индуктивность $\text{L}$ и электрическое сопротивление $\text{R}$. В момент $t = 0$ катушку подключают к аккумулятору. Как выглядит график зависимости силы тока $\text{I}$ в катушке от времени? Оцените характерное время $\tau$ возрастания тока в катушке. ЭДС аккумулятора равна $\mathcal{E}$, его внутренним сопротивлением можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Электрическое сопротивление катушки: $\text{R}$

ЭДС аккумулятора: $\mathcal{E}$

Внутреннее сопротивление аккумулятора: $r = 0$

Начальный момент времени: $t = 0$

Начальный ток: $I(0) = 0$

Найти:

1. Вид графика зависимости силы тока от времени $I(t)$.

2. Характерное время возрастания тока $\tau$.

Решение:

Когда катушку подключают к аккумулятору, в цепи возникает электрический ток. Согласно второму правилу Кирхгофа для замкнутой цепи, сумма ЭДС равна сумме падений напряжений на элементах цепи. В нашем случае цепь состоит из источника ЭДС $\mathcal{E}$, сопротивления $\text{R}$ и индуктивности $\text{L}$.

Падение напряжения на сопротивлении катушки равно $U_R = I \cdot R$.

Из-за изменения силы тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует этому изменению: $\mathcal{E}_L = -L \frac{dI}{dt}$. Падение напряжения на индуктивности, которое необходимо преодолеть внешнему источнику, равно $-\mathcal{E}_L = L \frac{dI}{dt}$.

Запишем уравнение второго правила Кирхгофа для данной цепи: $\mathcal{E} = I \cdot R + L \frac{dI}{dt}$

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно силы тока $I(t)$. Для его решения разделим переменные: $L \frac{dI}{dt} = \mathcal{E} - I \cdot R$ $\frac{dI}{\mathcal{E} - I \cdot R} = \frac{dt}{L}$

Интегрируем обе части уравнения, учитывая начальное условие, что в момент времени $t=0$ ток в цепи был равен нулю, $I(0)=0$: $\int_{0}^{I} \frac{dI'}{\mathcal{E} - I' \cdot R} = \int_{0}^{t} \frac{dt'}{L}$

Вычисляя интегралы, получаем: $[-\frac{1}{R} \ln(\mathcal{E} - I' \cdot R)]_{0}^{I} = [\frac{t'}{L}]_{0}^{t}$ $-\frac{1}{R} (\ln(\mathcal{E} - I \cdot R) - \ln(\mathcal{E})) = \frac{t}{L}$ $\ln(\frac{\mathcal{E} - I \cdot R}{\mathcal{E}}) = -\frac{R}{L} t$

Потенцируя последнее выражение, находим: $1 - \frac{I \cdot R}{\mathcal{E}} = e^{-\frac{R}{L}t}$

Отсюда выражаем зависимость силы тока $\text{I}$ от времени $\text{t}$: $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$

Как выглядит график зависимости силы тока I в катушке от времени?

Проанализируем полученное выражение $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$.

В начальный момент времени $t=0$, сила тока равна: $I(0) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^0) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - 1) = 0$. Это означает, что график начинается из начала координат.

При $t \to \infty$, экспоненциальный член $e^{-\frac{R}{L}t}$ стремится к нулю. Сила тока асимптотически приближается к своему установившемуся (стационарному) значению: $I_{уст} = \lim_{t \to \infty} I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - 0) = \frac{\mathcal{E}}{R}$. Это значение соответствует закону Ома для цепи постоянного тока, когда ток перестает меняться, и ЭДС самоиндукции исчезает.

Таким образом, график представляет собой кривую, которая выходит из начала координат и монотонно возрастает, асимптотически приближаясь к горизонтальной линии $I = \mathcal{E}/R$. Скорость нарастания тока $\frac{dI}{dt} = \frac{\mathcal{E}}{L}e^{-\frac{R}{L}t}$ максимальна в начальный момент времени ($t=0$) и уменьшается до нуля по мере установления тока.

Ответ: График зависимости силы тока от времени $I(t)$ — это экспоненциально возрастающая кривая, начинающаяся в точке (0, 0) и асимптотически стремящаяся к установившемуся значению тока $I_{уст} = \mathcal{E}/R$. Закон изменения тока со временем описывается формулой $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$.

Оцените характерное время τ возрастания тока в катушке.

Характерное время (или постоянная времени) RL-цепи, обозначаемое $\tau$, является параметром, который определяет, насколько быстро ток в цепи приближается к своему конечному значению. В уравнении $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t})$ показатель экспоненты имеет вид $-\frac{t}{\tau}$.

Сравнивая $-\frac{t}{\tau}$ с нашим показателем $-\frac{R}{L}t$, мы можем определить характерное время $\tau$: $\frac{t}{\tau} = \frac{R}{L}t$ $\tau = \frac{L}{R}$

Физический смысл постоянной времени $\tau$ заключается в том, что это время, за которое ток в катушке достигнет значения, равного $(1 - 1/e) \approx 0.632$ от своего максимального установившегося значения. Проверим это: $I(\tau) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}\tau}) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}\frac{L}{R}}) = \frac{\mathcal{E}}{R} (1 - e^{-1}) \approx 0.632 \frac{\mathcal{E}}{R}$.

Ответ: Характерное время возрастания тока в катушке равно $\tau = \frac{L}{R}$.