Номер 16.27, страница 103 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.27, страница 103.

Условие.

16.27*. Два одинаковых сверхпроводящих кольца могут свободно перемещаться вдоль одной прямой, причем плоскости колец остаются перпендикулярными этой прямой (см. рисунок). В начальный момент расстояние между кольцами намного превышает их размеры; по кольцам текут в одном направлении одинаковые токи $I_0$. Какие токи $\text{I}$ установятся в кольцах после того, как они сблизятся вплотную? Как при этом изменится энергия магнитного поля?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Два одинаковых сверхпроводящих кольца

Начальный ток в каждом кольце: $I_0$

Начальное расстояние между кольцами: $r_{нач} \rightarrow \infty$

Конечное расстояние между кольцами: $r_{кон} \rightarrow 0$

Самоиндукция каждого кольца: $\text{L}$

Найти:

1. Конечный ток в кольцах - $\text{I}$

2. Изменение энергии магнитного поля

Решение:

Какие токи I установятся в кольцах после того, как они сблизятся вплотную?

Поскольку кольца являются сверхпроводящими, полный магнитный поток через каждое кольцо сохраняется в процессе их сближения. Рассмотрим одно из колец.

Полный магнитный поток $Φ$ через кольцо складывается из потока, созданного собственным током (самоиндукция), и потока, созданного током в другом кольце (взаимная индукция).

$Φ = L I_{собств} + M I_{сосед}$

где $\text{L}$ — индуктивность одного кольца, $I_{собств}$ и $I_{сосед}$ — токи в кольцах, а $\text{M}$ — их взаимная индуктивность, которая зависит от расстояния между ними. По условию, кольца одинаковы, и по симметрии токи в них всегда будут равны.

В начальном состоянии кольца находятся очень далеко друг от друга. Это означает, что их взаимная индуктивность пренебрежимо мала, $M_{нач} \approx 0$. Начальный ток в каждом кольце равен $I_0$.

Начальный магнитный поток через одно кольцо:

$Φ_{нач} = L I_0 + M_{нач} I_0 \approx L I_0$

В конечном состоянии кольца сблизились вплотную. Обозначим конечный ток в каждом кольце как $\text{I}$, а взаимную индуктивность в этом положении как $M_{кон}$.

Конечный магнитный поток через одно кольцо:

$Φ_{кон} = L I + M_{кон} I = (L + M_{кон}) I$

Знак у $M_{кон}$ положительный, так как токи текут в одном направлении, и создаваемые ими магнитные поля в области другого кольца усиливают поле от собственного тока.

Из закона сохранения магнитного потока для сверхпроводящего контура имеем $Φ_{нач} = Φ_{кон}$:

$L I_0 = (L + M_{кон}) I$

Отсюда находим конечный ток $\text{I}$:

$I = \frac{L}{L + M_{кон}} I_0$

Когда два одинаковых кольца сближают вплотную, их взаимная индуктивность $M_{кон}$ становится практически равной их собственной индуктивности $\text{L}$. Это происходит потому, что почти весь магнитный поток, создаваемый одним кольцом, пронизывает второе кольцо. Таким образом, можно принять $M_{кон} \approx L$.

Подставляя это приближение в формулу для тока, получаем:

$I \approx \frac{L}{L + L} I_0 = \frac{L}{2L} I_0 = \frac{1}{2} I_0$

Ответ: В кольцах установятся токи, равные $I = \frac{1}{2} I_0$.

Как при этом изменится энергия магнитного поля?

Энергия магнитного поля системы из двух катушек с токами $I_1$ и $I_2$ вычисляется по формуле:

$W = \frac{1}{2} L I_1^2 + \frac{1}{2} L I_2^2 + M I_1 I_2$

Так как в любой момент времени $I_1 = I_2$, формула упрощается до:

$W = L I^2 + M I^2 = (L+M)I^2$

Начальная энергия системы ($W_{нач}$), когда кольца далеки друг от друга ($M_{нач} \approx 0$, ток $I_0$):

$W_{нач} = (L + 0) I_0^2 = L I_0^2$

Конечная энергия системы ($W_{кон}$), когда кольца вплотную ($M_{кон} \approx L$, ток $I = \frac{1}{2} I_0$):

$W_{кон} = (L + M_{кон}) I^2 \approx (L+L) \left(\frac{1}{2} I_0\right)^2 = 2L \cdot \frac{1}{4} I_0^2 = \frac{1}{2} L I_0^2$

Сравним начальную и конечную энергии:

$W_{кон} = \frac{1}{2} W_{нач}$

Энергия магнитного поля уменьшилась в два раза. Уменьшение энергии поля произошло за счет совершения работы силами магнитного притяжения колец (поскольку токи сонаправлены, кольца притягиваются). Эта работа перешла в кинетическую энергию движущихся колец.

Ответ: Энергия магнитного поля уменьшится в два раза.