Номер 16.31, страница 103 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.31, страница 103.

Условие.

16.31**. Половина проволочного кольца изготовлена из меди, а другая половина — из латуни. Сечение проволоки всюду одинаково, радиус кольца $r = 30 \text{ мм}$. Кольцо надето на цилиндрический сердечник того же радиуса. В сердечнике создано однородное магнитное поле, индукция которого возрастает с постоянной скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 50 \text{ Тл/с}$. Найдите напряженность электрического поля в медной и латунной частях кольца.

Решение.

Решение 2.

Дано

Радиус кольца $r = 30 \text{ мм}$

Скорость изменения индукции магнитного поля $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 50 \text{ Тл/с}$

Кольцо состоит из двух половин: медной (м) и латунной (л).

Удельное сопротивление меди $\rho_м \approx 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Удельное сопротивление латуни $\rho_л \approx 7.0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$r = 30 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Напряженность электрического поля в медной части кольца $E_м$

Напряженность электрического поля в латунной части кольца $E_л$

Решение

Изменение магнитного потока $\Phi$ через кольцо индуцирует ЭДС индукции $\varepsilon$ согласно закону Фарадея:

$\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}$

Магнитный поток $\Phi = B \cdot S = B \cdot \pi r^2$. Модуль ЭДС равен:

$\varepsilon = S \frac{dB}{dt} = \pi r^2 \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Эта ЭДС является циркуляцией вектора напряженности полного электрического поля $\vec{E}$ по замкнутому контуру кольца. Полное поле $\vec{E}$ является суммой вихревого (индуцированного) поля и потенциального (электростатического) поля, возникающего из-за неоднородности проводника.

$\varepsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E_м l_м + E_л l_л$

где $l_м = l_л = \pi r$ – длины медной и латунной половин кольца. Тогда:

$\varepsilon = (E_м + E_л)\pi r$

Приравнивая два выражения для $\varepsilon$, получаем первое уравнение:

$(E_м + E_л)\pi r = \pi r^2 \frac{\Delta B}{\Delta t} \implies E_м + E_л = r \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Так как ток $\text{I}$ в кольце постоянен, то и плотность тока $j = I/A$ (где $\text{A}$ – площадь поперечного сечения) одинакова во всех точках. По закону Ома в дифференциальной форме напряженность поля $\text{E}$ связана с плотностью тока $\text{j}$ и удельным сопротивлением $\rho$ как $E = \rho j$. Отсюда получаем второе уравнение, связывающее напряженности полей:

$\frac{E_м}{\rho_м} = \frac{E_л}{\rho_л} = j$

Решая систему из этих двух уравнений, получаем общие формулы для искомых напряженностей полей:

$E_м = r \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot \frac{\rho_м}{\rho_м + \rho_л}$

$E_л = r \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot \frac{\rho_л}{\rho_м + \rho_л}$

Вычислим общую часть выражения: $r \frac{\Delta B}{\Delta t} = 0.03 \text{ м} \cdot 50 \text{ Тл/с} = 1.5 \text{ В/м}$.

Напряженность электрического поля в медной части кольца

Подставим числовые значения в формулу для $E_м$:

$E_м = 1.5 \text{ В/м} \cdot \frac{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} + 7.0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = 1.5 \cdot \frac{1.7}{8.7} \approx 0.293 \text{ В/м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $E_м \approx 0.29 \text{ В/м}$.

Напряженность электрического поля в латунной части кольца

Подставим числовые значения в формулу для $E_л$:

$E_л = 1.5 \text{ В/м} \cdot \frac{7.0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} + 7.0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = 1.5 \cdot \frac{7.0}{8.7} \approx 1.207 \text{ В/м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $E_л \approx 1.2 \text{ В/м}$.