Номер 16.33, страница 104 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.33, страница 104.

Условие.

16.33**. Найдите разность потенциалов между двумя точками соединения медного и латунного полуколец (см. задачу 16.31).

Решение.

Решение 2.

Дано:

Кольцо состоит из медного и латунного полуколец одинакового поперечного сечения.

Радиус кольца, $R = 50$ см.

Скорость изменения индукции магнитного поля, $\beta = \frac{dB}{dt} = 10$ мТл/с.

Удельное сопротивление меди (справочное значение), $\rho_{Cu} = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м.

Удельное сопротивление латуни (справочное значение), $\rho_{L} \approx 7.0 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м.

Перевод в систему СИ:

$R = 0.5$ м.

$\beta = 10 \cdot 10^{-3}$ Тл/с $= 0.01$ Тл/с.

Найти:

Разность потенциалов между точками соединения полуколец, $\text{U}$.

Решение:

При изменении магнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, в нем возникает вихревое электрическое поле, которое создает ЭДС индукции. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, полная ЭДС индукции в кольце равна скорости изменения магнитного потока через него:

$\mathcal{E}_{ind} = \left| -\frac{d\Phi}{dt} \right| = \frac{d(B \cdot A)}{dt} = A \frac{dB}{dt} = \pi R^2 \beta$

где $A = \pi R^2$ — площадь кольца.

Эта ЭДС равномерно распределена по всей длине кольца. Так как медное и латунное полукольца имеют одинаковую длину ($\pi R$), ЭДС индукции в каждом из них одинакова и равна половине полной ЭДС:

$\mathcal{E}_{Cu} = \mathcal{E}_{L} = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{2} = \frac{\pi R^2 \beta}{2}$

Под действием ЭДС индукции в замкнутом кольце потечет ток $\text{I}$. Полное сопротивление кольца $R_{total}$ равно сумме сопротивлений медного ($R_{Cu}$) и латунного ($R_{L}$) полуколец:

$R_{total} = R_{Cu} + R_{L}$

Сопротивления полуколец, имеющих одинаковую длину $l = \pi R$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$, равны:

$R_{Cu} = \rho_{Cu} \frac{\pi R}{S}, \quad R_{L} = \rho_{L} \frac{\pi R}{S}$

По закону Ома для всей цепи, сила тока в кольце определяется как:

$I = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R_{total}} = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R_{Cu} + R_{L}}$

Разность потенциалов между двумя точками (например, точками соединения A и B) по определению создается только потенциальным (кулоновским) электрическим полем. Чтобы ее найти, воспользуемся обобщенным законом Ома для участка цепи, например, для медного полукольца. Разность потенциалов $U_{AB} = \phi_A - \phi_B$ на концах участка с током $\text{I}$, сопротивлением $\text{R}$ и ЭДС $\mathcal{E}$ равна $U_{AB} = I R - \mathcal{E}$ (при условии, что направление обхода совпадает с направлением тока). Применим эту формулу к медному полукольцу (обходя его от точки A к точке B):

$U_{AB} = I R_{Cu} - \mathcal{E}_{Cu}$

Подставим ранее найденные выражения для тока $\text{I}$ и ЭДС $\mathcal{E}_{Cu}$:

$U_{AB} = \left( \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R_{Cu} + R_{L}} \right) R_{Cu} - \frac{\mathcal{E}_{ind}}{2}$

Вынесем $\mathcal{E}_{ind}$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$U_{AB} = \mathcal{E}_{ind} \left( \frac{R_{Cu}}{R_{Cu} + R_{L}} - \frac{1}{2} \right) = \mathcal{E}_{ind} \left( \frac{2R_{Cu} - (R_{Cu} + R_{L})}{2(R_{Cu} + R_{L})} \right)$

$U_{AB} = \mathcal{E}_{ind} \frac{R_{Cu} - R_{L}}{2(R_{Cu} + R_{L})}$

Теперь подставим выражения для сопротивлений через удельные сопротивления и для полной ЭДС:

$U_{AB} = (\pi R^2 \beta) \frac{\rho_{Cu} \frac{\pi R}{S} - \rho_{L} \frac{\pi R}{S}}{2(\rho_{Cu} \frac{\pi R}{S} + \rho_{L} \frac{\pi R}{S})} = \frac{\pi R^2 \beta}{2} \frac{\rho_{Cu} - \rho_{L}}{\rho_{Cu} + \rho_{L}}$

Как видно из итоговой формулы, результат не зависит от площади поперечного сечения провода $\text{S}$.

Подставим числовые значения из условия и справочных данных:

$U_{AB} = \frac{\pi \cdot (0.5 \text{ м})^2 \cdot 0.01 \text{ Тл/с}}{2} \frac{(1.7 \cdot 10^{-8} - 7.0 \cdot 10^{-8}) \text{ Ом}\cdot\text{м}}{(1.7 \cdot 10^{-8} + 7.0 \cdot 10^{-8}) \text{ Ом}\cdot\text{м}}$

$U_{AB} = \frac{\pi \cdot 0.25 \cdot 0.01}{2} \frac{-5.3 \cdot 10^{-8}}{8.7 \cdot 10^{-8}} \text{ В}$

$U_{AB} = (0.00125 \pi) \frac{-5.3}{8.7} \text{ В} \approx 0.003927 \cdot (-0.6092) \text{ В} \approx -0.002392 \text{ В} \approx -2.4 \text{ мВ}$

Модуль разности потенциалов $|U_{AB}| \approx 2.4$ мВ. Знак минус указывает, на каком из контактов потенциал выше, что зависит от направления изменения магнитного поля. В задаче требуется найти "разность потенциалов", под которой обычно понимают ее абсолютное значение.

Ответ: разность потенциалов между точками соединения составляет примерно $2.4$ мВ.