Номер 16.25, страница 102 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.25, страница 102.

Условие.

16.25** Через катушку (см. задачу 16.24) течет постоянный ток. В момент $t_0$ источник тока отключают и катушку замыкают накоротко (см. рисунок). Как выглядит график зависимости силы тока от времени? Каково характерное время $\tau$ убывания тока в цепи?

К задаче 16.25

Решение.

Решение 2.

Дано:

Цепь, состоящая из источника ЭДС $\text{E}$ и катушки с индуктивностью $\text{L}$ и активным сопротивлением $\text{R}$.

Для $t < t_0$: через катушку течет постоянный ток от источника.

При $t = t_0$: источник отключается, катушка замыкается накоротко.

Найти:

1. Вид графика зависимости силы тока от времени $I(t)$.

2. Характерное время убывания тока $\tau$.

Решение:

1. Анализ цепи до момента $t_0$.

Пока ключ замкнут на источник, в цепи течет постоянный ток. В режиме постоянного тока производная силы тока по времени равна нулю ($\frac{dI}{dt} = 0$), и ЭДС самоиндукции в катушке $E_{self} = -L \frac{dI}{dt}$ отсутствует. Катушка ведет себя как проводник с сопротивлением $\text{R}$. Согласно закону Ома, установившийся ток в цепи равен:

$I_0 = \frac{E}{R}$

Этот ток постоянен для всех $t < t_0$.

2. Анализ цепи после момента $t_0$.

В момент $t_0$ источник отключается, и катушка замыкается сама на себя, образуя контур, состоящий из индуктивности $\text{L}$ и сопротивления $\text{R}$. Согласно закону электромагнитной индукции, ток в катушке не может измениться мгновенно, поэтому в момент $t=t_0$ он все еще равен $I_0$.

После замыкания ток начинает убывать, так как энергия магнитного поля катушки рассеивается на сопротивлении $\text{R}$. Убывание тока порождает ЭДС самоиндукции $E_{self}$, которая, по правилу Ленца, препятствует этому убыванию. Для замкнутого контура, состоящего из катушки, по второму правилу Кирхгофа:

$U_R + E_{self} = 0$

где $U_R = I R$ - падение напряжения на сопротивлении. Подставив выражение для ЭДС самоиндукции $E_{self} = -L \frac{dI}{dt}$, получаем:

$I R - L \frac{dI}{dt} = 0$

Это дифференциальное уравнение, описывающее изменение тока в цепи. Разделим переменные:

$\frac{dI}{I} = -\frac{R}{L} dt$

Проинтегрируем это уравнение в пределах от $t_0$ до произвольного момента времени $t > t_0$. Ток при этом изменяется от $I_0$ до $I(t)$:

$\int_{I_0}^{I(t)} \frac{dI'}{I'} = -\int_{t_0}^{t} \frac{R}{L} dt'$

$\ln(I(t)) - \ln(I_0) = -\frac{R}{L} (t - t_0)$

$\ln\left(\frac{I(t)}{I_0}\right) = -\frac{R}{L} (t - t_0)$

Выражая $I(t)$, получаем закон убывания тока в цепи:

$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}$

Как выглядит график зависимости силы тока от времени?

На основе проведенного анализа можно построить график зависимости $I(t)$.

1. Для $t < t_0$ сила тока постоянна и равна $I(t) = I_0 = \frac{E}{R}$. Это горизонтальный отрезок прямой.

2. Для $t \ge t_0$ сила тока убывает по экспоненциальному закону $I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}$. Это кривая, которая начинается в точке $(t_0, I_0)$ и асимптотически приближается к оси времени ($I=0$) при $t \to \infty$.

График не имеет разрывов в точке $t_0$, так как ток в катушке индуктивности изменяется плавно.

Ответ: График зависимости силы тока от времени состоит из двух участков: горизонтальной прямой $I = \frac{E}{R}$ при $t < t_0$ и экспоненциально убывающей кривой $I(t) = \frac{E}{R} e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}$ при $t \ge t_0$.

Каково характерное время τ убывания тока в цепи?

Характерное время затухания (или постоянная времени) $\tau$ — это параметр в показателе экспоненты, который определяет скорость процесса. Общая формула для экспоненциального убывания имеет вид $A(t) = A_0 e^{-t'/\tau}$, где $t'$ — время, прошедшее с начала процесса.

В нашем случае закон убывания тока (если считать $t_0$ началом отсчета, т.е. $t' = t - t_0$) имеет вид:

$I(t') = I_0 e^{-\frac{R}{L}t'}$

Сравнивая этот закон с общей формулой, видим, что:

$\frac{1}{\tau} = \frac{R}{L}$

Отсюда находим характерное время убывания тока:

$\tau = \frac{L}{R}$

Физически, $\tau$ — это время, за которое ток в цепи уменьшится в $e \approx 2.718$ раз от своего начального значения.

Ответ: Характерное время убывания тока в цепи равно $\tau = \frac{L}{R}$.