Номер 16.22, страница 102 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.22, страница 102.

Условие.

16.22*. На цилиндрический железный сердечник радиусом $\text{r}$ надето изолированное металлическое кольцо того же радиуса, имеющее электрическое сопротивление $\text{R}$. В сердечнике создается однородное магнитное поле, индукция которого изменяется по закону $B = aB_0t$. Как изменяется со временем сила тока $\text{i}$ в кольце и разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус кольца и сердечника: $\text{r}$

Электрическое сопротивление кольца: $\text{R}$

Закон изменения индукции магнитного поля: $B(t) = aB_0t$, где $a, B_0$ - постоянные.

Найти:

$i(t)$ - зависимость силы тока в кольце от времени.

$U(t)$ - зависимость разности потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца от времени.

Решение:

Сила тока i в кольце

Изменение магнитного поля во времени создает вихревое электрическое поле, которое приводит к возникновению индукционной ЭДС и, как следствие, индукционного тока в металлическом кольце. Для нахождения силы тока воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея и законом Ома.

1. Магнитный поток $Φ_B$ через контур, ограниченный кольцом, определяется как произведение модуля вектора магнитной индукции $\text{B}$ (поле однородно и перпендикулярно плоскости кольца) на площадь кольца $S = \pi r^2$.
$Φ_B(t) = B(t) \cdot S = (aB_0t) \cdot (\pi r^2) = aB_0\pi r^2 t$

2. Согласно закону Фарадея, ЭДС индукции $ε_{инд}$, возникающая в кольце, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:
$ε_{инд} = - \frac{dΦ_B}{dt}$

Найдем производную магнитного потока по времени:
$\frac{dΦ_B}{dt} = \frac{d}{dt}(aB_0\pi r^2 t) = aB_0\pi r^2$

Так как $a, B_0, r$ - постоянные величины, скорость изменения магнитного потока является константой. Следовательно, ЭДС индукции также постоянна во времени. Её модуль равен:
$|ε_{инд}| = aB_0\pi r^2$

3. По закону Ома для замкнутой цепи, сила тока $\text{i}$ в кольце равна отношению ЭДС индукции к полному сопротивлению кольца $\text{R}$:
$i = \frac{|ε_{инд}|}{R} = \frac{aB_0\pi r^2}{R}$

Поскольку все величины в правой части выражения ($a, B_0, \pi, r, R$) являются постоянными, сила тока $\text{i}$ в кольце не изменяется со временем.

Ответ: Сила тока в кольце постоянна (не изменяется со временем) и равна $i = \frac{aB_0\pi r^2}{R}$.

Разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца

Рассмотрим две диаметрально противоположные точки на кольце, A и B. Разность потенциалов $\text{U}$ между этими точками можно найти, применив обобщенный закон Ома для участка цепи. Мысленно разделим кольцо на два полукольца, соединяющих точки A и B.

1. Сопротивление каждого полукольца равно $R_{AB} = R/2$.

2. Изменяющееся магнитное поле создает вихревое (непотенциальное) электрическое поле $E_{инд}$. В силу симметрии задачи, это поле направлено по касательной к кольцу и его модуль $E_{инд}$ одинаков во всех точках кольца. Полная ЭДС индукции в кольце $ε_{инд}$ равна циркуляции этого поля по длине окружности кольца $L = 2\pi r$:
$ε_{инд} = E_{инд} \cdot L = E_{инд} \cdot (2\pi r)$

3. ЭДС, наводимая в одном из полуколец (участок AB), равна:
$ε_{инд, AB} = E_{инд} \cdot (\pi r) = \frac{ε_{инд}}{2\pi r} \cdot \pi r = \frac{ε_{инд}}{2}$

4. Разность потенциалов $U_{AB} = φ_B - φ_A$ на участке цепи AB с источником ЭДС определяется обобщенным законом Ома. Предположим, что ток $\text{i}$ течет от A к B по рассматриваемому полукольцу. Тогда:
$U_{AB} = φ_B - φ_A = ε_{инд, AB} - i \cdot R_{AB}$

Подставим найденные ранее значения $i = \frac{ε_{инд}}{R}$, $ε_{инд, AB} = \frac{ε_{инд}}{2}$ и $R_{AB} = \frac{R}{2}$:
$U_{AB} = \frac{ε_{инд}}{2} - \left(\frac{ε_{инд}}{R}\right) \cdot \left(\frac{R}{2}\right) = \frac{ε_{инд}}{2} - \frac{ε_{инд}}{2} = 0$

Таким образом, разность потенциалов между любыми двумя диаметрально противоположными точками кольца равна нулю. Поскольку этот результат не зависит от времени, разность потенциалов не изменяется со временем.

Ответ: Разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца равна нулю и не изменяется со временем.