Номер 16.19, страница 101 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 16. Электромагнитная индукция - номер 16.19, страница 101.

Условие.

16.19. Металлическое кольцо радиусом $\text{l}$ находится в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$, перпендикулярной плоскости кольца. Две металлические стрелки сопротивлением $\text{R}$ каждая имеют контакт между собой и с кольцом (см. рисунок). Одна стрелка неподвижна, а другая равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$. Найдите силу тока $\text{I}$, текущего через стрелки. Сопротивлением кольца можно пренебречь.

К задаче 16.19

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус кольца (длина стрелки): $\text{l}$

Магнитная индукция: $\text{B}$

Сопротивление каждой стрелки: $\text{R}$

Угловая скорость вращения одной из стрелок: $ω$

Найти:

Силу тока: $\text{I}$

Решение:

При вращении металлической стрелки в однородном магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции. Неподвижная стрелка не движется, поэтому ЭДС в ней не возникает.

Рассмотрим вращающуюся стрелку. Элемент стрелки длиной $\text{dr}$, находящийся на расстоянии $\text{r}$ от центра, движется с линейной скоростью $v = ωr$.

На свободные заряды в этом элементе действует сила Лоренца, что приводит к возникновению элементарной ЭДС индукции $dε$:

$dε = Bv dr = B(ωr)dr$

Чтобы найти полную ЭДС индукции $ε$ во вращающейся стрелке, проинтегрируем это выражение по всей длине стрелки от $r=0$ (центр) до $r=l$ (край кольца):

$ε = \int_0^l Bωr \, dr = Bω \int_0^l r \, dr = Bω \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^l = \frac{Bωl^2}{2}$

Таким образом, вращающаяся стрелка является источником ЭДС. Электрическая цепь состоит из двух стрелок, соединенных последовательно через центр и металлическое кольцо. Сопротивлением кольца можно пренебречь, поэтому оно выступает в роли идеального проводника, замыкающего цепь.

Общее сопротивление цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений двух стрелок, так как они соединены последовательно:

$R_{общ} = R + R = 2R$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$, текущего через стрелки, равна отношению полной ЭДС в цепи к полному сопротивлению цепи:

$I = \frac{ε}{R_{общ}}$

Подставим найденные значения ЭДС и общего сопротивления:

$I = \frac{\frac{Bωl^2}{2}}{2R} = \frac{Bωl^2}{4R}$

Ответ: $I = \frac{Bωl^2}{4R}$