Номер 17.6, страница 106 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.6, страница 106.

Условие.

17.6**. Емкость конденсатора колебательного контура радиоприемника можно изменять от $C_1 = 56 \text{ пФ}$ до $C_2 = 670 \text{ пФ}$. Сколько сменных катушек надо иметь, чтобы радиоприемник можно было настраивать на любые радиостанции, работающие в диапазоне длин волн от $\lambda_1 = 40 \text{ м}$ до $\lambda_2 = 2600 \text{ м}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$C_1 = 56 \text{ пФ} = 56 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$C_2 = 670 \text{ пФ} = 670 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$\lambda_1 = 40 \text{ м}$

$\lambda_2 = 2600 \text{ м}$

Найти:

$\text{N}$ - минимальное количество сменных катушек.

Решение:

Длина волны электромагнитных колебаний, на которую настроен колебательный контур радиоприемника, связана с параметрами контура (индуктивностью $\text{L}$ и емкостью $\text{C}$) по формуле Томсона, выраженной через длину волны:

$\lambda = c \cdot T = 2\pi c \sqrt{LC}$

где $\text{c}$ – скорость света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с).

При использовании одной катушки с постоянной индуктивностью $\text{L}$, диапазон длин волн, на который можно настроить приемник, изменяя емкость конденсатора от $C_1$ до $C_2$, ограничен:

Минимальная настраиваемая длина волны: $\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{LC_1}$

Максимальная настраиваемая длина волны: $\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{LC_2}$

Найдем, во сколько раз может измениться длина волны при настройке с помощью одной катушки. Этот коэффициент перекрытия диапазона $\text{k}$ равен отношению максимальной длины волны к минимальной:

$k = \frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{2\pi c \sqrt{LC_2}}{2\pi c \sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Подставим заданные значения емкостей:

$k = \sqrt{\frac{670}{56}} \approx \sqrt{11.964} \approx 3.46$

Это означает, что одна катушка позволяет перекрыть диапазон длин волн, в котором максимальное значение в 3.46 раза больше минимального.

Весь требуемый диапазон радиоприемника простирается от $\lambda_1 = 40$ м до $\lambda_2 = 2600$ м. Общий коэффициент, который нужно перекрыть, равен:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2600}{40} = 65$

Чтобы обеспечить непрерывное покрытие всего диапазона, нам понадобится несколько сменных катушек. Пусть их количество равно $\text{N}$. С первой катушкой мы покроем диапазон от $\lambda_1$ до $\lambda_1 \cdot k$. Со второй — от $\lambda_1 \cdot k$ до $\lambda_1 \cdot k^2$, и так далее. С $\text{N}$-й катушкой мы сможем покрыть диапазон до длины волны $\lambda_1 \cdot k^N$. Чтобы перекрыть весь заданный диапазон, максимальная длина волны, достигаемая с последней катушкой, должна быть не меньше $\lambda_2$:

$\lambda_1 \cdot k^N \ge \lambda_2$

Отсюда получаем неравенство для $\text{N}$:

$k^N \ge \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$

Подставим вычисленные значения:

$(3.46)^N \ge 65$

Чтобы найти $\text{N}$, прологарифмируем обе части неравенства (можно использовать натуральный логарифм):

$N \cdot \ln(3.46) \ge \ln(65)$

$N \ge \frac{\ln(65)}{\ln(3.46)}$

$N \ge \frac{4.174}{1.241} \approx 3.36$

Так как количество катушек $\text{N}$ должно быть целым числом, необходимо выбрать наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Округляем полученное значение в большую сторону.

$N = 4$

Таким образом, для настройки радиоприемника на весь заданный диапазон длин волн необходимо иметь 4 сменные катушки.

Ответ: 4.