Номер 17.5, страница 106 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.5, страница 106.

Условие.

17.5**. Емкость конденсатора колебательного контура радиоприемника можно изменять от $C_1$ до $C_2 > C_1$. Какой комплект сменных катушек следует взять, чтобы диапазон длин волн, на которые можно настраивать приемник, был как можно более широким и не содержал «просветов»? Какова верхняя граница $\lambda_{\max}$ этого диапазона, если его нижняя граница $\lambda_{\min}$, а комплект состоит из $\text{N}$ катушек?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Диапазон изменения емкости конденсатора: от $C_1$ до $C_2$ ($C_2 > C_1$)

Количество сменных катушек: $\text{N}$

Нижняя граница всего диапазона длин волн: $\lambda_{min}$

Условие: диапазон должен быть максимально широким и без «просветов».

Найти:

1. Требование к комплекту сменных катушек.

2. Верхнюю границу диапазона $\lambda_{max}$.

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур радиоприемника, определяется по формуле Томсона:

$\lambda = cT = 2\pi c \sqrt{LC}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, $\text{C}$ — емкость конденсатора, а $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Для одной катушки с индуктивностью $L_i$ и переменного конденсатора с емкостью от $C_1$ до $C_2$ диапазон настраиваемых длин волн составляет от $\lambda_{i,min}$ до $\lambda_{i,max}$:

$\lambda_{i,min} = 2\pi c \sqrt{L_i C_1}$

$\lambda_{i,max} = 2\pi c \sqrt{L_i C_2}$

Какой комплект сменных катушек следует взять, чтобы диапазон длин волн, на которые можно настраивать приемник, был как можно более широким и не содержал «просветов»?

Чтобы покрыть максимально широкий диапазон длин волн без промежутков («просветов»), необходимо, чтобы конец диапазона, обеспечиваемого одной катушкой, совпадал с началом диапазона следующей. Упорядочим индуктивности катушек по возрастанию: $L_1 < L_2 < ... < L_N$.

Условие непрерывности диапазона для соседних катушек с индуктивностями $L_i$ и $L_{i+1}$ записывается как:

$\lambda_{i,max} = \lambda_{i+1,min}$

Подставим выражения для длин волн:

$2\pi c \sqrt{L_i C_2} = 2\pi c \sqrt{L_{i+1} C_1}$

Возведем обе части равенства в квадрат и сократим общие множители:

$L_i C_2 = L_{i+1} C_1$

Отсюда находим соотношение между индуктивностями двух соседних катушек в наборе:

$\frac{L_{i+1}}{L_i} = \frac{C_2}{C_1}$

Это соотношение означает, что индуктивности катушек должны образовывать геометрическую прогрессию со знаменателем $q_L = C_2 / C_1$. То есть, если индуктивность первой катушки $L_1$, то индуктивность $\text{i}$-й катушки должна быть $L_i = L_1 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{i-1}$.

Ответ: Индуктивности сменных катушек должны образовывать геометрическую прогрессию со знаменателем, равным отношению максимальной емкости конденсатора к минимальной, то есть $\frac{C_2}{C_1}$.

Какова верхняя граница $\lambda_{max}$ этого диапазона, если его нижняя граница $\lambda_{min}$, а комплект состоит из $\text{N}$ катушек?

Нижняя граница всего диапазона $\lambda_{min}$ достигается при использовании катушки с наименьшей индуктивностью $L_1$ и минимальной емкости конденсатора $C_1$:

$\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{L_1 C_1}$

Верхняя граница всего диапазона $\lambda_{max}$ достигается при использовании катушки с наибольшей индуктивностью $L_N$ и максимальной емкости конденсатора $C_2$:

$\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{L_N C_2}$

Найдем отношение $\lambda_{max}$ к $\lambda_{min}$:

$\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{2\pi c \sqrt{L_N C_2}}{2\pi c \sqrt{L_1 C_1}} = \sqrt{\frac{L_N}{L_1} \cdot \frac{C_2}{C_1}}$

Поскольку индуктивности составляют геометрическую прогрессию, $L_N$ можно выразить через $L_1$:

$L_N = L_1 \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N-1}$

Отсюда отношение индуктивностей:

$\frac{L_N}{L_1} = \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N-1}$

Подставим это отношение в формулу для $\lambda_{max} / \lambda_{min}$:

$\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \sqrt{\left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N-1} \cdot \frac{C_2}{C_1}} = \sqrt{\left(\frac{C_2}{C_1}\right)^N} = \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N/2}$

Из этого соотношения выражаем $\lambda_{max}$:

$\lambda_{max} = \lambda_{min} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N/2}$

Ответ: $\lambda_{max} = \lambda_{min} \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{N/2}$.