Номер 17.13, страница 106 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.13, страница 106.

Условие.

17.13*. Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в три раза требует увеличения мощности передатчика в 9 раз? Во сколько раз следует увеличить мощность передатчика для увеличения дальности радиолокации в три раза? Поглощение энергии при распространении радиоволн не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в три раза требует увеличения мощности передатчика в 9 раз?

Радиосвязь с космическим кораблем представляет собой одностороннюю (в каждый момент времени) передачу сигнала. Энергия радиоволн, излучаемая передатчиком, распространяется в пространстве. Пренебрегая поглощением и предполагая, что излучение происходит равномерно во все стороны (изотропно), энергия распределяется по поверхности сферы, площадь которой растет с увеличением расстояния от источника.

Площадь сферы $\text{S}$ с радиусом $\text{R}$ (расстояние до корабля) равна $S = 4\pi R^2$. Интенсивность $\text{I}$ сигнала (мощность, приходящаяся на единицу площади) на расстоянии $\text{R}$ от передатчика мощностью $\text{P}$ определяется как $I = \frac{P}{S} = \frac{P}{4\pi R^2}$. Эта зависимость известна как закон обратных квадратов.

Для того чтобы приемник мог зарегистрировать сигнал, его интенсивность $\text{I}$ должна быть не меньше некоторого порогового значения $I_{min}$, определяемого чувствительностью приемной аппаратуры. Максимальная дальность связи $R_{max}$ достигается, когда интенсивность сигнала на этом расстоянии как раз равна пороговой: $I_{min} = \frac{P}{4\pi R_{max}^2}$.

Из этой формулы видно, что мощность передатчика $\text{P}$ прямо пропорциональна квадрату максимальной дальности связи: $P = 4\pi I_{min} R_{max}^2$, то есть $P \propto R_{max}^2$.

Если начальная дальность была $R_1$ при мощности $P_1$, то для достижения новой дальности $R_2 = 3R_1$ потребуется мощность $P_2$, которую можно найти из пропорции: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\frac{3R_1}{R_1}\right)^2 = 3^2 = 9$.

Следовательно, для увеличения дальности радиосвязи в 3 раза необходимо увеличить мощность передатчика в 9 раз.

Ответ: Это связано с тем, что интенсивность радиосигнала ослабевает пропорционально квадрату расстояния от источника (закон обратных квадратов). Чтобы скомпенсировать это ослабление на втрое большем расстоянии и сохранить интенсивность сигнала на уровне, достаточном для приема, мощность передатчика необходимо увеличить в $3^2 = 9$ раз.

Во сколько раз следует увеличить мощность передатчика для увеличения дальности радиолокации в три раза?

Дано:

Увеличение дальности радиолокации: $k_R = \frac{R_2}{R_1} = 3$.

Найти:

Отношение мощностей передатчика: $k_P = \frac{P_2}{P_1}$ - ?

Решение:

Процесс радиолокации отличается от односторонней радиосвязи тем, что сигнал должен пройти путь в обе стороны: от радара до цели и обратно после отражения.

1. Сигнал от передатчика радара мощностью $\text{P}$ распространяется к цели. Его интенсивность у цели, находящейся на расстоянии $\text{R}$, убывает по закону обратных квадратов: $I_{цели} \propto \frac{P}{R^2}$.

2. Сигнал отражается от цели. Цель можно рассматривать как новый источник излучения. Мощность этого "вторичного" источника пропорциональна интенсивности падающего на него сигнала $I_{цели}$.

3. Отраженный сигнал (эхо) распространяется от цели обратно к приемнику радара. Его интенсивность на обратном пути также убывает по закону обратных квадратов. Таким образом, интенсивность эха, принимаемого радаром, $I_{эха}$ пропорциональна интенсивности сигнала у цели и обратно пропорциональна квадрату расстояния: $I_{эха} \propto \frac{I_{цели}}{R^2}$.

Объединяя эти зависимости, получаем, что интенсивность принимаемого эха обратно пропорциональна четвертой степени расстояния до цели: $I_{эха} \propto \frac{P/R^2}{R^2} = \frac{P}{R^4}$.

Максимальная дальность радиолокации $R_{max}$ определяется условием, что интенсивность эха равна минимальной чувствительности приемника $I_{min}$. Отсюда получаем зависимость требуемой мощности передатчика $\text{P}$ от максимальной дальности: $P \propto R_{max}^4$.

Найдем, во сколько раз нужно увеличить мощность, чтобы увеличить дальность в 3 раза ($R_2 = 3R_1$): $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^4 = 3^4 = 81$.

Ответ: Для увеличения дальности радиолокации в три раза мощность передатчика следует увеличить в 81 раз.