Номер 17.17, страница 107 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.17, страница 107.

Условие.

17.17**. В цепи (см. рисунок) $C_1 = C_2 = C$. До замыкания ключа напряжение на первом конденсаторе равно $U_1$, а второй конденсатор не заряжен. Найдите максимальное значение $I_M$ силы тока через катушку с индуктивностью $\text{L}$ после замыкания ключа. Сопротивлением катушки можно пренебречь.

К задаче 17.17

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкости конденсаторов: $C_1 = C_2 = C$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_1$

Начальное напряжение на втором конденсаторе: $U_2 = 0$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Сопротивление цепи: $R=0$

Найти:

Максимальное значение силы тока через катушку: $I_M$

Решение:

До замыкания ключа энергия системы была сосредоточена в первом конденсаторе:

$W_0 = \frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{C U_1^2}{2}$

В момент замыкания ключа ($t=0$) конденсаторы $C_1$ и $C_2$ оказываются соединены параллельно друг с другом и с катушкой индуктивности $\text{L}$.

Ток через катушку индуктивности не может измениться мгновенно, поэтому в момент $t=0^+$ ток через нее по-прежнему равен нулю ($I_L(0^+) = 0$). Однако между конденсаторами, имеющими разный потенциал, произойдет очень быстрая (в идеальной модели — мгновенная) перезарядка. Заряд с первого конденсатора перераспределится между двумя конденсаторами. Этот процесс происходит до того, как в катушке возникнет значительный ток. В ходе этого быстрого процесса часть энергии будет потеряна (в виде электромагнитного излучения), поэтому для дальнейших колебаний будет доступна не вся начальная энергия $W_0$.

Найдем состояние системы сразу после перераспределения заряда. Полный заряд на соединенных вместе верхних обкладках конденсаторов сохраняется:

$Q_{общ} = q_1(0) + q_2(0) = C_1 U_1 + 0 = C U_1$

После перераспределения напряжение на параллельно соединенных конденсаторах станет одинаковым и равным $U'$. Новый заряд на каждом конденсаторе будет $q_1' = C U'$ и $q_2' = C U'$. Из закона сохранения заряда:

$q_1' + q_2' = Q_{общ}$

$C U' + C U' = C U_1$

$2C U' = C U_1 \implies U' = \frac{U_1}{2}$

Таким образом, колебательный процесс в контуре LC начнется с напряжения $U' = U_1/2$ на конденсаторах и нулевого тока в катушке. Эквивалентная емкость двух параллельно соединенных конденсаторов равна $C_{экв} = C_1 + C_2 = 2C$.

Энергия, запасенная в конденсаторах в начале колебательного процесса, равна:

$W_{osc} = \frac{C_{экв} (U')^2}{2} = \frac{(2C) (U_1/2)^2}{2} = \frac{2C \cdot U_1^2/4}{2} = \frac{C U_1^2}{4}$

Эта энергия в дальнейшем будет переходить в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальный ток $I_M$ в катушке будет достигнут в тот момент, когда вся энергия колебательной системы перейдет в энергию магнитного поля катушки, а энергия электрического поля конденсаторов станет равной нулю.

По закону сохранения энергии для колебательного контура:

$W_{osc} = W_{L, max}$

где $W_{L, max}$ — максимальная энергия магнитного поля катушки.

$W_{L, max} = \frac{L I_M^2}{2}$

Приравнивая энергии, получаем:

$\frac{C U_1^2}{4} = \frac{L I_M^2}{2}$

Выразим отсюда максимальный ток $I_M$:

$L I_M^2 = \frac{C U_1^2}{2}$

$I_M^2 = \frac{C U_1^2}{2L}$

$I_M = \sqrt{\frac{C U_1^2}{2L}} = U_1 \sqrt{\frac{C}{2L}}$

Ответ: $I_M = U_1 \sqrt{\frac{C}{2L}}$