Номер 17.19, страница 108 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.19, страница 108.

Условие.

17.19*. В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением $\text{R}$, конденсатор емкостью $\text{C}$ и катушка индуктивностью $\text{L}$. По цепи протекает переменный ток $i = I_M \cos \omega t$. Найдите амплитуды напряжения на каждом из элементов цепи и амплитуду напряжения, приложенного к цепи. По какому закону изменяется это напряжение?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Последовательная RLC-цепь

Сопротивление резистора: $\text{R}$

Емкость конденсатора: $\text{C}$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Закон изменения тока в цепи: $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, где $I_m$ — амплитуда тока, $\omega$ — циклическая частота.

Найти:

Амплитуду напряжения на резисторе: $U_{Rm}$

Амплитуду напряжения на конденсаторе: $U_{Cm}$

Амплитуду напряжения на катушке индуктивности: $U_{Lm}$

Амплитуду напряжения, приложенного к цепи: $U_m$

Закон изменения напряжения, приложенного к цепи: $u(t)$

Решение:

Для нахождения напряжений на каждом элементе цепи воспользуемся соответствующими законами для переменного тока.

1. Напряжение на резисторе ($u_R$)

Согласно закону Ома для участка цепи, напряжение на резисторе совпадает по фазе с током:

$u_R(t) = i(t) \cdot R = (I_m \cos(\omega t)) \cdot R = I_m R \cos(\omega t)$

Амплитуда напряжения на резисторе — это максимальное значение $u_R(t)$, равное:

$U_{Rm} = I_m R$

2. Напряжение на конденсаторе ($u_C$)

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом $\text{q}$ соотношением $u_C = q/C$. Ток, в свою очередь, является производной заряда по времени $i = dq/dt$. Чтобы найти заряд, проинтегрируем ток по времени:

$q(t) = \int i(t) dt = \int I_m \cos(\omega t) dt = \frac{I_m}{\omega} \sin(\omega t)$

Тогда напряжение на конденсаторе:

$u_C(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{I_m}{\omega C} \sin(\omega t)$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \pi/2)$, получим:

$u_C(t) = \frac{I_m}{\omega C} \cos(\omega t - \pi/2)$

Это показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на $\pi/2$. Амплитуда напряжения на конденсаторе:

$U_{Cm} = \frac{I_m}{\omega C} = I_m X_C$, где $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление.

3. Напряжение на катушке индуктивности ($u_L$)

Напряжение на катушке индуктивности определяется ЭДС самоиндукции: $u_L(t) = L \frac{di}{dt}$. Найдем производную тока по времени:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(I_m \cos(\omega t)) = -I_m \omega \sin(\omega t)$

Тогда напряжение на катушке:

$u_L(t) = L(-I_m \omega \sin(\omega t)) = -I_m \omega L \sin(\omega t)$

Используя тригонометрическое тождество $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \pi/2)$, получим:

$u_L(t) = I_m \omega L \cos(\omega t + \pi/2)$

Это показывает, что напряжение на катушке опережает по фазе ток на $\pi/2$. Амплитуда напряжения на катушке:

$U_{Lm} = I_m \omega L = I_m X_L$, где $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление.

4. Напряжение, приложенное к цепи ($\text{u}$)

Так как элементы соединены последовательно, мгновенное напряжение на всей цепи равно сумме мгновенных напряжений на каждом элементе (второе правило Кирхгофа):

$u(t) = u_R(t) + u_L(t) + u_C(t)$

$u(t) = U_{Rm} \cos(\omega t) + U_{Lm} \cos(\omega t + \pi/2) + U_{Cm} \cos(\omega t - \pi/2)$

Для нахождения амплитуды $U_m$ и закона изменения полного напряжения $u(t)$ удобно использовать метод векторных диаграмм (фазоров). Фазоры напряжений $U_{Lm}$ и $U_{Cm}$ направлены в противоположные стороны (сдвиг фаз между ними $\pi$), а фазор $U_{Rm}$ перпендикулярен им. Амплитуда полного напряжения находится как гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $U_{Rm}$ и $(U_{Lm} - U_{Cm})$:

$U_m = \sqrt{U_{Rm}^2 + (U_{Lm} - U_{Cm})^2}$

Подставим выражения для амплитуд:

$U_m = \sqrt{(I_m R)^2 + (I_m \omega L - \frac{I_m}{\omega C})^2} = I_m \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$

Величина $Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$ называется полным сопротивлением цепи (импедансом). Таким образом, $U_m = I_m Z$.

5. Закон изменения напряжения, приложенного к цепи

Общее напряжение изменяется по гармоническому закону $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi)$, где $\phi$ — сдвиг фаз между полным напряжением и током. Этот сдвиг фаз можно найти из той же векторной диаграммы:

$\tan(\phi) = \frac{U_{Lm} - U_{Cm}}{U_{Rm}} = \frac{I_m \omega L - I_m/(\omega C)}{I_m R} = \frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}$

Отсюда, $\phi = \arctan\left(\frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}\right)$.

Таким образом, закон изменения напряжения, приложенного к цепи:

$u(t) = I_m \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} \cos\left(\omega t + \arctan\left(\frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}\right)\right)$

Ответ:

Амплитуда напряжения на резисторе: $U_{Rm} = I_m R$.

Амплитуда напряжения на конденсаторе: $U_{Cm} = \frac{I_m}{\omega C}$.

Амплитуда напряжения на катушке индуктивности: $U_{Lm} = I_m \omega L$.

Амплитуда напряжения, приложенного к цепи: $U_m = I_m \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$.

Напряжение, приложенное к цепи, изменяется по закону $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi)$, где $U_m$ — амплитуда, найденная выше, а сдвиг фаз $\phi$ равен $\phi = \arctan\left(\frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}\right)$.