Номер 17.20, страница 108 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.20, страница 108.

Условие.

17.20*. В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением $\text{R}$, конденсатор емкостью $\text{C}$ и катушка индуктивностью $\text{L}$. К цепи прикладывают переменное напряжение $u = U_M\cos\omega t$. Как выглядят графики зависимости амплитуды силы тока $I_M$ и амплитуды напряжения на резисторе $U_{MR}$ от циклической частоты $\omega$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Последовательная RLC-цепь

Сопротивление резистора: $\text{R}$

Емкость конденсатора: $\text{C}$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Приложенное напряжение: $u = U_m \cos(\omega t)$

Найти:

Вид графиков зависимостей $I_m(\omega)$ и $U_{mR}(\omega)$

Решение:

Для последовательной RLC-цепи полное сопротивление (импеданс) $\text{Z}$ зависит от циклической частоты $\omega$ и определяется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

где $\text{R}$ — активное сопротивление, $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление.

Подставив выражения для реактивных сопротивлений, получим зависимость полного сопротивления от частоты:

$Z(\omega) = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$

Зависимость амплитуды силы тока $I_m$ от циклической частоты $\omega$

Амплитуда силы тока в цепи определяется законом Ома для переменного тока:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$

Подставим выражение для $Z(\omega)$:

$I_m(\omega) = \frac{U_m}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}$

Проанализируем эту зависимость:

1. При $\omega \rightarrow 0$ емкостное сопротивление $X_C = \frac{1}{\omega C} \rightarrow \infty$, следовательно, полное сопротивление $Z \rightarrow \infty$, а амплитуда тока $I_m \rightarrow 0$.

2. При $\omega \rightarrow \infty$ индуктивное сопротивление $X_L = \omega L \rightarrow \infty$, следовательно, полное сопротивление $Z \rightarrow \infty$, а амплитуда тока $I_m \rightarrow 0$.

3. Амплитуда тока достигает максимального значения, когда знаменатель (импеданс $\text{Z}$) минимален. Это происходит при условии, что реактивная составляющая сопротивления равна нулю, то есть $\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0$. Это явление называется резонансом.

Резонансная циклическая частота $\omega_0$ равна:

$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

При резонансе $Z = R$, и амплитуда тока максимальна:

$I_{m, \max} = \frac{U_m}{R}$

График зависимости $I_m(\omega)$ представляет собой резонансную кривую. Он начинается из начала координат $(0, 0)$, плавно возрастает до максимального значения $I_{m, \max}$ при резонансной частоте $\omega_0$, а затем плавно убывает, асимптотически приближаясь к оси абсцисс при $\omega \rightarrow \infty$.

Ответ: График зависимости амплитуды силы тока от частоты $I_m(\omega)$ является резонансной кривой, имеющей максимум $I_{m, \max} = U_m/R$ при резонансной частоте $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.

Зависимость амплитуды напряжения на резисторе $U_{mR}$ от циклической частоты $\omega$

Амплитуда напряжения на резисторе связана с амплитудой тока по закону Ома для участка цепи:

$U_{mR} = I_m R$

Подставим полученное ранее выражение для $I_m(\omega)$:

$U_{mR}(\omega) = \frac{U_m R}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}$

Из этой формулы видно, что зависимость $U_{mR}(\omega)$ качественно полностью повторяет зависимость $I_m(\omega)$, так как отличается от нее лишь постоянным множителем $\text{R}$.

Проанализируем эту зависимость:

1. При $\omega \rightarrow 0$, $U_{mR} \rightarrow 0$.

2. При $\omega \rightarrow \infty$, $U_{mR} \rightarrow 0$.

3. Максимум также достигается при резонансной частоте $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Максимальное значение амплитуды напряжения на резисторе равно:

$U_{mR, \max} = I_{m, \max} \cdot R = \frac{U_m}{R} \cdot R = U_m$

Это означает, что в момент резонанса все напряжение источника приложено к активному сопротивлению, так как падения напряжений на индуктивности и емкости равны по величине и противоположны по фазе, взаимно компенсируя друг друга.

График зависимости $U_{mR}(\omega)$ также является резонансной кривой, идентичной по форме графику $I_m(\omega)$.

Ответ: График зависимости амплитуды напряжения на резисторе от частоты $U_{mR}(\omega)$ является резонансной кривой, качественно повторяющей график для силы тока. Максимальное значение $U_{mR, \max} = U_m$ достигается при резонансной частоте $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.