Номер 17.27, страница 109 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.27, страница 109.

Условие.

17.27*. В сеть переменного тока частотой $\nu = 50 \text{ Гц}$ включены последовательно лампа, катушка и конденсатор емкостью $C = 20 \text{ мкФ}$. Индуктивность катушки без сердечника $L_1 = 50 \text{ мГн}$, а при полностью введенном сердечнике $L_2 = 1,5 \text{ Гн}$. Как изменяется накал лампы по мере введения в катушку сердечника?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Частота переменного тока $v = 50$ Гц

Емкость конденсатора $C = 20$ мкФ $= 20 \cdot 10^{-6}$ Ф

Индуктивность катушки без сердечника $L_1 = 50$ мГн $= 50 \cdot 10^{-3}$ Гн $= 0.05$ Гн

Индуктивность катушки с полностью введенным сердечником $L_2 = 1.5$ Гн

Найти:

Как изменяется накал лампы по мере введения в катушку сердечника?

Решение:

Накал (яркость) лампы зависит от мощности, выделяемой на ней, которая определяется формулой $P = I^2 R$, где $\text{I}$ - действующая сила тока в цепи, а $\text{R}$ - сопротивление нити накала лампы. Поскольку сопротивление $\text{R}$ можно считать постоянным, яркость лампы зависит от силы тока $\text{I}$.

Лампа, катушка и конденсатор соединены последовательно. Сила тока в такой цепи переменного тока определяется по закону Ома: $I = \frac{U}{Z}$, где $\text{U}$ - напряжение сети (постоянное), а $\text{Z}$ - полное сопротивление (импеданс) цепи. Импеданс рассчитывается по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Здесь $X_L$ - индуктивное сопротивление, а $X_C$ - емкостное сопротивление. Они зависят от частоты тока $\text{v}$ (или циклической частоты $\omega = 2\pi v$), индуктивности $\text{L}$ и емкости $\text{C}$:

$X_L = \omega L = 2\pi v L$

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi v C}$

По мере введения сердечника в катушку ее индуктивность $\text{L}$ плавно увеличивается от значения $L_1$ до $L_2$. Емкостное сопротивление $X_C$ при этом остается постоянным. Найдем его значение:

$X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{100\pi \cdot 20 \cdot 10^{-6}} = \frac{10000}{2\pi} \approx 159$ Ом

Индуктивное сопротивление $X_L$ будет изменяться. Найдем его начальное и конечное значения:

Начальное (без сердечника): $X_{L1} = 2\pi v L_1 = 100\pi \cdot 0.05 \text{ Гн} = 5\pi \approx 15.7$ Ом

Конечное (с полностью введенным сердечником): $X_{L2} = 2\pi v L_2 = 100\pi \cdot 1.5 \text{ Гн} = 150\pi \approx 471$ Ом

Сила тока $\text{I}$ в цепи будет максимальной, когда импеданс $\text{Z}$ минимален. Минимальное значение импеданса достигается при условии $Z_{min} = R$, что происходит при явлении резонанса напряжений, когда $X_L = X_C$.

Сравним значение $X_C$ с диапазоном изменения $X_L$: $X_{L1} \approx 15.7$ Ом, $X_{L2} \approx 471$ Ом, $X_C \approx 159$ Ом.

Поскольку $X_{L1} < X_C < X_{L2}$, это означает, что по мере введения сердечника индуктивное сопротивление $X_L$ будет расти и в какой-то момент станет равным емкостному сопротивлению $X_C$. В этот момент в цепи наступит резонанс.

Проанализируем, как меняется импеданс $\text{Z}$:

1. Вначале $X_L = X_{L1} < X_C$. Разность $(X_L - X_C)$ отрицательна.
2. По мере введения сердечника $X_L$ растет и приближается к $X_C$. Величина $|X_L - X_C|$ уменьшается, следовательно, импеданс $\text{Z}$ тоже уменьшается.
3. В момент резонанса $X_L = X_C$. Импеданс достигает своего минимума $Z = R$.
4. При дальнейшем введении сердечника $X_L$ становится больше $X_C$. Величина $|X_L - X_C|$ снова начинает расти, и импеданс $\text{Z}$ увеличивается.

Так как сила тока $I = U/Z$, то ее изменение будет обратным изменению импеданса: сначала ток будет расти, достигнет максимума в момент резонанса, а затем будет убывать.

Поскольку яркость лампы пропорциональна квадрату силы тока ($P \sim I^2$), она будет меняться так же.

Ответ: По мере введения сердечника в катушку накал лампы сначала увеличивается, достигает максимального значения (в момент резонанса), а затем уменьшается.