Номер 17.28, страница 109 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.28, страница 109.

Условие.

17.28*. В сеть переменного тока частотой $v = 50 \text{ Гц}$ включены последовательно лампа, катушка индуктивностью $L = 0,50 \text{ Гн}$ и конденсатор емкостью $C = 10 \text{ мкФ}$. Как изменится накал лампы, если к конденсатору подключить параллельно второй такой же конденсатор? Третий?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Частота переменного тока, $\nu = 50 \text{ Гц}$

Индуктивность катушки, $L = 0,50 \text{ Гн}$

Емкость конденсатора, $C = 10 \text{ мкФ}$

Перевод в СИ:

$C = 10 \times 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

Как изменится накал лампы при подключении второго, а затем третьего такого же конденсатора параллельно первому?

Решение:

Накал (яркость) лампы зависит от силы тока $\text{I}$ в цепи. Сила тока в цепи переменного тока определяется по закону Ома для полной цепи: $I = \frac{U}{Z}$, где $\text{U}$ — напряжение сети, а $\text{Z}$ — полное сопротивление (импеданс) цепи. Импеданс последовательного RLC-контура вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

где $\text{R}$ — активное сопротивление лампы, $X_L$ — индуктивное сопротивление, $X_C$ — емкостное сопротивление.

Индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты тока $\nu$ и параметров элементов:

$X_L = \omega L = 2\pi\nu L$

$X_C = \frac{1}{\omega C_{общ}} = \frac{1}{2\pi\nu C_{общ}}$

где $C_{общ}$ — общая емкость всех конденсаторов в цепи.

Чем меньше модуль разности $|X_L - X_C|$, тем меньше импеданс $\text{Z}$ и, следовательно, тем больше сила тока $\text{I}$ и ярче горит лампа. Максимальная яркость достигается при условии резонанса, когда $X_L = X_C$.

Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки, которое остается постоянным:

$X_L = 2\pi \times 50 \text{ Гц} \times 0,50 \text{ Гн} = 50\pi \text{ Ом} \approx 157 \text{ Ом}$

Теперь проанализируем, как меняется емкостное сопротивление и импеданс цепи при добавлении конденсаторов.

В начальном состоянии в цепи один конденсатор емкостью $C_1 = C = 10^{-5}$ Ф. Его сопротивление:

$X_{C1} = \frac{1}{2\pi\nu C_1} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 10^{-5}} = \frac{1000}{\pi} \text{ Ом} \approx 318 \text{ Ом}$

Модуль разности реактивных сопротивлений: $|X_L - X_{C1}| = |157 - 318| \text{ Ом} = 161 \text{ Ом}$.

При подключении второго такого же конденсатора:

При параллельном подключении второго конденсатора общая емкость становится $C_2 = C + C = 2C = 2 \times 10^{-5}$ Ф.

Новое емкостное сопротивление будет:

$X_{C2} = \frac{1}{2\pi\nu C_2} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 2 \times 10^{-5}} = \frac{500}{\pi} \text{ Ом} \approx 159 \text{ Ом}$

Модуль разности реактивных сопротивлений: $|X_L - X_{C2}| = |157 - 159| \text{ Ом} = 2 \text{ Ом}$.

Поскольку $|X_L - X_{C2}| < |X_L - X_{C1}|$ ($2 \text{ Ом} < 161 \text{ Ом}$), полное сопротивление цепи $\text{Z}$ уменьшилось. Это означает, что сила тока $\text{I}$ увеличилась, и лампа стала гореть ярче. Цепь приблизилась к состоянию резонанса.

Ответ: При подключении второго конденсатора накал лампы увеличится.

При подключении третьего такого же конденсатора:

При параллельном подключении третьего конденсатора (к уже имеющимся двум) общая емкость станет $C_3 = C + C + C = 3C = 3 \times 10^{-5}$ Ф.

Новое емкостное сопротивление будет:

$X_{C3} = \frac{1}{2\pi\nu C_3} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 3 \times 10^{-5}} = \frac{1000}{3\pi} \text{ Ом} \approx 106 \text{ Ом}$

Модуль разности реактивных сопротивлений: $|X_L - X_{C3}| = |157 - 106| \text{ Ом} = 51 \text{ Ом}$.

Сравним это значение с предыдущим случаем (с двумя конденсаторами): $|X_L - X_{C3}| > |X_L - X_{C2}|$ ($51 \text{ Ом} > 2 \text{ Ом}$). Полное сопротивление цепи $\text{Z}$ увеличилось по сравнению со случаем с двумя конденсаторами. Это означает, что сила тока $\text{I}$ уменьшилась, и лампа стала гореть тусклее. Цепь прошла точку резонанса и стала удаляться от нее.

Ответ: При подключении третьего конденсатора (после второго) накал лампы уменьшится.