Номер 17.25, страница 109 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.25, страница 109.

Условие.

17.25. Проводник имеет активное сопротивление $R = 30 \text{ Ом}$ и индуктивность $L = 0,127 \text{ Гн}$. Каковы полное сопротивление $\text{Z}$ проводника и сдвиг фаз $\varphi$ между током и напряжением, если проводник включен в сеть переменного тока с частотой $v_1 = 50 \text{ Гц}$? С частотой $v_2 = 400 \text{ Гц}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R = 30$ Ом

$L = 0,127$ Гн

$v_1 = 50$ Гц

$v_2 = 400$ Гц

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

$Z_1, \phi_1, Z_2, \phi_2$

Решение:

Полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ для последовательного соединения резистора и катушки индуктивности находится по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$

где $\text{R}$ — активное сопротивление, а $X_L$ — индуктивное (реактивное) сопротивление.

Индуктивное сопротивление зависит от частоты переменного тока $\text{v}$ и индуктивности $\text{L}$:

$X_L = 2\pi v L$

Сдвиг фаз $\phi$ между напряжением и током определяется по формуле:

$\text{tg}\phi = \frac{X_L}{R}$

Рассчитаем искомые величины для двух случаев.

С частотой $v_1 = 50$ Гц

1. Найдем индуктивное сопротивление $X_{L1}$:

$X_{L1} = 2\pi v_1 L = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 0,127 \text{ Гн} \approx 39,9$ Ом.

Для удобства дальнейших вычислений округлим это значение до 40 Ом.

2. Найдем полное сопротивление $Z_1$:

$Z_1 = \sqrt{R^2 + X_{L1}^2} = \sqrt{(30 \text{ Ом})^2 + (40 \text{ Ом})^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ Ом.

3. Найдем сдвиг фаз $\phi_1$:

$\text{tg}\phi_1 = \frac{X_{L1}}{R} = \frac{40 \text{ Ом}}{30 \text{ Ом}} = \frac{4}{3} \approx 1,33$.

$\phi_1 = \text{arctg}(\frac{4}{3}) \approx 53,1^\circ$.

Ответ: При частоте 50 Гц полное сопротивление составляет $Z_1 = 50$ Ом, сдвиг фаз $\phi_1 \approx 53,1^\circ$.

С частотой $v_2 = 400$ Гц

1. Найдем индуктивное сопротивление $X_{L2}$:

Поскольку частота $v_2$ в 8 раз больше частоты $v_1$ ($400 \text{ Гц} / 50 \text{ Гц} = 8$), индуктивное сопротивление также будет в 8 раз больше:

$X_{L2} = 8 \cdot X_{L1} = 8 \cdot 40 \text{ Ом} = 320$ Ом.

Проверим прямым расчетом:

$X_{L2} = 2\pi v_2 L = 2 \cdot 3,14 \cdot 400 \text{ Гц} \cdot 0,127 \text{ Гн} \approx 319,2$ Ом, что близко к 320 Ом.

2. Найдем полное сопротивление $Z_2$:

$Z_2 = \sqrt{R^2 + X_{L2}^2} = \sqrt{(30 \text{ Ом})^2 + (320 \text{ Ом})^2} = \sqrt{900 + 102400} = \sqrt{103300} \approx 321,4$ Ом.

3. Найдем сдвиг фаз $\phi_2$:

$\text{tg}\phi_2 = \frac{X_{L2}}{R} = \frac{320 \text{ Ом}}{30 \text{ Ом}} = \frac{32}{3} \approx 10,67$.

$\phi_2 = \text{arctg}(\frac{32}{3}) \approx 84,6^\circ$.

Ответ: При частоте 400 Гц полное сопротивление составляет $Z_2 \approx 321,4$ Ом, сдвиг фаз $\phi_2 \approx 84,6^\circ$.