Номер 17.22, страница 108 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.22, страница 108.

Условие.

17.22. В цепь переменного тока включены последовательно резистор с сопротивлением $\text{R}$, конденсатор емкостью $\text{C}$ и катушка индуктивностью $\text{L}$. Амплитуда силы тока в цепи равна $I_M$. Какую среднюю мощность потребляет за период каждый из элементов цепи? Конденсатор и катушку считайте идеальными.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Последовательная RLC-цепь переменного тока.

Сопротивление резистора: $\text{R}$

Емкость конденсатора: $\text{C}$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Амплитуда силы тока: $I_м$

Конденсатор и катушка идеальные.

Найти:

Среднюю мощность за период, потребляемую каждым элементом цепи: $\text{<}p_r\text{>}$, $\text{<}p_l\text{>}$, $\text{<}p_c\text{>}$

Решение:

Средняя мощность за период $\text{T}$ определяется как $\text{<}P\text{>} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p(t) dt$, где $p(t) = u(t)i(t)$ - мгновенная мощность. Сила тока в цепи изменяется по гармоническому закону, который можно записать как $i(t) = I_м \sin(\omega t)$, где $\omega$ - циклическая частота.

Резистор

Напряжение на резисторе $u_R(t)$ совпадает по фазе с током $i(t)$:

$u_R(t) = i(t)R = I_м R \sin(\omega t)$

Мгновенная мощность на резисторе:

$p_R(t) = u_R(t)i(t) = (I_м R \sin(\omega t))(I_м \sin(\omega t)) = I_м^2 R \sin^2(\omega t)$

Средняя мощность на резисторе:

$\text{<}p_r\text{>} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_м^2 R \sin^2(\omega t) dt = I_м^2 R \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin^2(\omega t) dt$

Среднее значение квадрата синуса за период равно $1/2$. То есть, $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin^2(\omega t) dt = \frac{1}{2}$.

Поэтому средняя мощность, потребляемая резистором (также называемая активной мощностью), равна:

$\text{<}p_r\text{>} = \frac{1}{2} I_м^2 R$

Эта мощность необратимо превращается в тепло (закон Джоуля-Ленца).

Ответ: $\text{<}p_r\text{>} = \frac{1}{2} I_м^2 R$

Конденсатор

Напряжение на идеальном конденсаторе $u_C(t)$ отстает по фазе от тока $i(t)$ на $\pi/2$ (90°):

$u_C(t) = - \frac{I_м}{\omega C} \cos(\omega t) = \frac{I_м}{\omega C} \sin(\omega t - \pi/2)$

Мгновенная мощность на конденсаторе:

$p_C(t) = u_C(t)i(t) = \left(- \frac{I_м}{\omega C} \cos(\omega t)\right)(I_м \sin(\omega t)) = - \frac{I_м^2}{\omega C} \sin(\omega t)\cos(\omega t)$

Используя тригонометрическую формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:

$p_C(t) = - \frac{I_м^2}{2\omega C} \sin(2\omega t)$

Средняя мощность на конденсаторе:

$\text{<}p_c\text{>} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left(- \frac{I_м^2}{2\omega C} \sin(2\omega t)\right) dt = - \frac{I_м^2}{2\omega C} \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin(2\omega t) dt$

Интеграл от синусоидальной функции по целому числу периодов равен нулю. Следовательно, средняя мощность, потребляемая идеальным конденсатором, равна нулю. Конденсатор не потребляет энергию, а лишь обменивается ею с источником, запасая энергию в электрическом поле и возвращая ее обратно в цепь.

Ответ: $\text{<}p_c\text{>} = 0$

Катушка индуктивности

Напряжение на идеальной катушке $u_L(t)$ опережает по фазе ток $i(t)$ на $\pi/2$ (90°):

$u_L(t) = L \frac{di}{dt} = L \frac{d}{dt}(I_м \sin(\omega t)) = I_м \omega L \cos(\omega t) = I_м \omega L \sin(\omega t + \pi/2)$

Мгновенная мощность на катушке:

$p_L(t) = u_L(t)i(t) = (I_м \omega L \cos(\omega t))(I_м \sin(\omega t)) = I_м^2 \omega L \sin(\omega t)\cos(\omega t)$

Используя ту же тригонометрическую формулу, получаем:

$p_L(t) = \frac{I_м^2 \omega L}{2} \sin(2\omega t)$

Средняя мощность на катушке:

$\text{<}p_l\text{>} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left(\frac{I_м^2 \omega L}{2} \sin(2\omega t)\right) dt = \frac{I_м^2 \omega L}{2} \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin(2\omega t) dt$

Как и в случае с конденсатором, интеграл от синуса за период равен нулю. Следовательно, средняя мощность, потребляемая идеальной катушкой, равна нулю. Катушка, как и конденсатор, лишь обменивается энергией с источником, накапливая её в магнитном поле и возвращая обратно в цепь.

Ответ: $\text{<}p_l\text{>} = 0$