Номер 17.15, страница 107 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.15, страница 107.

Условие.

17.15** Конденсатор емкостью $C_1$ заряжен до напряжения $U_1$, а конденсатор емкостью $C_2$ не заряжен (см. рисунок). Каким будет максимальное значение $I_м$ силы тока в катушке индуктивностью $\text{L}$ после замыкания ключа? Конденсаторы и катушку считайте идеальными.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость первого конденсатора: $C_1$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_1$

Емкость второго конденсатора: $C_2$

Начальный заряд второго конденсатора: $q_{2,0} = 0$

Индуктивность катушки: $\text{L}$

Найти:

$I_m$

Решение:

Задача решается на основе закона сохранения энергии. В начальный момент времени, до замыкания ключа, вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле заряженного конденсатора $C_1$, так как конденсатор $C_2$ не заряжен, а ток в катушке отсутствует.

Начальная энергия системы:

$W_{нач} = \frac{C_1 U_1^2}{2}$

После замыкания ключа в контуре, состоящем из двух конденсаторов и катушки, возникают электромагнитные колебания. Так как по условию элементы цепи идеальны (сопротивление равно нулю), полная энергия в системе сохраняется.

Сила тока в катушке достигает своего максимального (амплитудного) значения $I_m$ в тот момент, когда энергия магнитного поля катушки максимальна:

$W_{L, макс} = \frac{L I_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, в этот же момент времени суммарная энергия электрического поля двух конденсаторов должна быть минимальной. Обозначим эту энергию $W_{C, мин}$.

Закон сохранения энергии для начального состояния и состояния с максимальным током имеет вид:

$W_{нач} = W_{C, мин} + W_{L, макс}$

Найдем минимальное значение энергии, запасенной в конденсаторах. Пусть $\text{q}$ — это заряд, который перетек с конденсатора $C_1$ на конденсатор $C_2$ через катушку к моменту времени, когда ток максимален. Тогда заряды на конденсаторах будут равны:

$q_1 = C_1 U_1 - q$

$q_2 = q$

Суммарная энергия конденсаторов как функция от перетекшего заряда $\text{q}$:

$W_C(q) = \frac{q_1^2}{2C_1} + \frac{q_2^2}{2C_2} = \frac{(C_1 U_1 - q)^2}{2C_1} + \frac{q^2}{2C_2}$

Минимум этой функции достигается, когда ее производная по $\text{q}$ равна нулю:

$\frac{dW_C}{dq} = \frac{2(C_1 U_1 - q)(-1)}{2C_1} + \frac{2q}{2C_2} = -\frac{C_1 U_1 - q}{C_1} + \frac{q}{C_2} = 0$

Решая это уравнение относительно $\text{q}$, получаем:

$-U_1 + \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2} = 0 \implies q \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) = U_1 \implies q = \frac{C_1 C_2 U_1}{C_1 + C_2}$

Данное состояние соответствует моменту, когда напряжения на конденсаторах выравниваются. Теперь найдем минимальную энергию $W_{C, мин}$, подставив найденное значение $\text{q}$ в выражение для $W_C(q)$:

$W_{C, мин} = \frac{1}{2C_1} \left( C_1 U_1 - \frac{C_1 C_2 U_1}{C_1 + C_2} \right)^2 + \frac{1}{2C_2} \left( \frac{C_1 C_2 U_1}{C_1 + C_2} \right)^2$

$W_{C, мин} = \frac{1}{2C_1} \left( \frac{C_1^2 U_1}{C_1 + C_2} \right)^2 + \frac{1}{2C_2} \left( \frac{C_1 C_2 U_1}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{C_1^3 U_1^2}{2(C_1 + C_2)^2} + \frac{C_1^2 C_2 U_1^2}{2(C_1 + C_2)^2}$

$W_{C, мин} = \frac{C_1^2 U_1^2 (C_1 + C_2)}{2(C_1 + C_2)^2} = \frac{C_1^2 U_1^2}{2(C_1 + C_2)}$

Подставим выражения для энергий в закон сохранения:

$\frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{C_1^2 U_1^2}{2(C_1 + C_2)} + \frac{L I_m^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и выразим $L I_m^2$:

$L I_m^2 = C_1 U_1^2 - \frac{C_1^2 U_1^2}{C_1 + C_2} = C_1 U_1^2 \left(1 - \frac{C_1}{C_1 + C_2}\right) = C_1 U_1^2 \frac{C_1 + C_2 - C_1}{C_1 + C_2} = \frac{C_1 C_2 U_1^2}{C_1 + C_2}$

Отсюда находим искомое максимальное значение силы тока $I_m$:

$I_m^2 = \frac{C_1 C_2 U_1^2}{L(C_1 + C_2)}$

$I_m = U_1 \sqrt{\frac{C_1 C_2}{L(C_1 + C_2)}}$

Ответ: $I_m = U_1 \sqrt{\frac{C_1 C_2}{L(C_1 + C_2)}}$