Номер 17.21, страница 108 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.21, страница 108.

Условие.

17.21. В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением $R = 1,0 \text{ кОм}$, конденсатор емкостью $C = 1,0 \text{ мкФ}$ и катушка индуктивностью $L = 0,50 \text{ Гн}$. Найдите емкостное сопротивление $X_C$, индуктивное сопротивление $X_L$ и полное сопротивление $\text{Z}$ цепи при частотах $\nu_1 = 50 \text{ Гц}$ и $\nu_2 = 10 \text{ кГц}$. При какой частоте $\nu_0$ в цепи наблюдается резонанс?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R = 1,0 \text{ кОм} = 1,0 \cdot 10^3 \text{ Ом}$
$C = 1,0 \text{ мкФ} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$L = 0,50 \text{ Гн}$
$ν_1 = 50 \text{ Гц}$
$ν_2 = 10 \text{ кГц} = 1,0 \cdot 10^4 \text{ Гц}$

Найти:

$X_{C1}, X_{L1}, Z_1$ - ?
$X_{C2}, X_{L2}, Z_2$ - ?
$ν_0$ - ?

Решение:

Найдем емкостное сопротивление $X_C$, индуктивное сопротивление $X_L$ и полное сопротивление $\text{Z}$ цепи при частоте $ν_1 = 50$ Гц.

Емкостное сопротивление $X_C$ определяется по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$
Подставим значения для частоты $ν_1$: $X_{C1} = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{100\pi \cdot 10^{-6}} \approx 3183 \text{ Ом}$

Индуктивное сопротивление $X_L$ определяется по формуле: $X_L = \omega L = 2\pi\nu L$
Подставим значения для частоты $ν_1$: $X_{L1} = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 0,50 \text{ Гн} = 50\pi \approx 157 \text{ Ом}$

Полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ для последовательного RLC-контура находится по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
Подставим вычисленные значения для частоты $ν_1$: $Z_1 = \sqrt{(1,0 \cdot 10^3 \text{ Ом})^2 + (157 \text{ Ом} - 3183 \text{ Ом})^2} = \sqrt{(1000)^2 + (-3026)^2} \approx \sqrt{10156676} \approx 3187 \text{ Ом}$
Ответ: при частоте $ν_1 = 50$ Гц емкостное сопротивление $X_{C1} \approx 3,2$ кОм, индуктивное сопротивление $X_{L1} \approx 160$ Ом, полное сопротивление $Z_1 \approx 3,2$ кОм.

Найдем емкостное сопротивление $X_C$, индуктивное сопротивление $X_L$ и полное сопротивление $\text{Z}$ цепи при частоте $ν_2 = 10$ кГц.

Подставим значения для частоты $ν_2 = 1,0 \cdot 10^4$ Гц: $X_{C2} = \frac{1}{2\pi \cdot 1,0 \cdot 10^4 \text{ Гц} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-2}} \approx 15,9 \text{ Ом}$

Подставим значения для частоты $ν_2$: $X_{L2} = 2\pi \cdot 1,0 \cdot 10^4 \text{ Гц} \cdot 0,50 \text{ Гн} = 10000\pi \approx 31416 \text{ Ом}$

Подставим вычисленные значения для частоты $ν_2$: $Z_2 = \sqrt{(1,0 \cdot 10^3 \text{ Ом})^2 + (31416 \text{ Ом} - 15,9 \text{ Ом})^2} = \sqrt{(1000)^2 + (31400)^2} \approx \sqrt{986960000} \approx 31416 \text{ Ом}$
Ответ: при частоте $ν_2 = 10$ кГц емкостное сопротивление $X_{C2} \approx 16$ Ом, индуктивное сопротивление $X_{L2} \approx 31$ кОм, полное сопротивление $Z_2 \approx 31$ кОм.

При какой частоте $ν_0$ в цепи наблюдается резонанс?

Резонанс в последовательной RLC-цепи наступает, когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению: $X_L = X_C$.
$2\pi\nu_0 L = \frac{1}{2\pi\nu_0 C}$
Отсюда можем выразить резонансную частоту $ν_0$ (формула Томсона): $(2\pi\nu_0)^2 = \frac{1}{LC}$
$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
Подставим известные значения $\text{L}$ и $\text{C}$: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,50 \text{ Гн} \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,5 \cdot 10^{-6}}} \approx \frac{1}{2\pi \cdot 7,07 \cdot 10^{-4}} \approx 225 \text{ Гц}$
С учетом значащих цифр исходных данных (две), округляем результат.
Ответ: резонанс в цепи наблюдается при частоте $ν_0 \approx 230$ Гц.