Номер 17.29, страница 109 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 17. Электромагнитные колебания и волны. Переменный ток - номер 17.29, страница 109.

Условие.

17.29*. Неоновая лампа с напряжением зажигания $U_3 = 156$ В включена в сеть 220 В, 50 Гц. Найдите частоту $\text{n}$ вспышек лампы. В течение какой части периода лампа горит? Напряжение гашения лампы считайте равным напряжению зажигания.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Напряжение зажигания неоновой лампы $U_з = 156$ В

Действующее напряжение сети $U = 220$ В

Частота сети $f = 50$ Гц

Напряжение гашения лампы считается равным напряжению зажигания $U_{гаш} = U_з$.

Найти:

$\text{n}$ — частота вспышек лампы.

$\frac{\Delta t}{T}$ — часть периода, в течение которой лампа горит.

Решение:

Найдите частоту n вспышек лампы.

Неоновая лампа подключена к сети переменного тока, напряжение в которой изменяется по синусоидальному закону: $u(t) = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega = 2\pi f$ — циклическая частота.

Амплитудное значение напряжения связано с действующим (эффективным) значением $\text{U}$ соотношением: $U_m = U \sqrt{2}$.

Лампа зажигается, когда мгновенное напряжение на ней по абсолютной величине достигает или превышает напряжение зажигания, то есть $|u(t)| \ge U_з$.

Сначала проверим, будет ли лампа вообще загораться. Для этого амплитудное напряжение сети должно быть больше напряжения зажигания.

$U_m = 220 \text{ В} \cdot \sqrt{2} \approx 311 \text{ В}$.

Поскольку $U_m > U_з$ ($311 \text{ В} > 156 \text{ В}$), лампа будет вспыхивать.

За один период переменного тока напряжение проходит через один положительный и один отрицательный полупериод. В каждом полупериоде модуль напряжения сначала возрастает от 0 до $U_m$, а затем убывает до 0. Таким образом, в каждом полупериоде будет интервал времени, в течение которого $|u(t)| \ge U_з$. Это означает, что лампа вспыхивает один раз в течение положительного полупериода и один раз в течение отрицательного.

Следовательно, за один период сетевого напряжения лампа вспыхивает дважды. Частота вспышек $\text{n}$ будет в два раза больше частоты сети $\text{f}$:

$n = 2f = 2 \cdot 50 \text{ Гц} = 100 \text{ Гц}$.

Ответ: Частота вспышек лампы равна $100$ Гц.

В течение какой части периода лампа горит?

Лампа горит, когда выполняется условие $|u(t)| \ge U_з$, или $|U_m \sin(\omega t)| \ge U_з$.

Рассмотрим положительный полупериод ($0 \le \omega t \le \pi$). Лампа зажигается в момент времени $t_1$, когда $u(t_1) = U_з$, и гаснет в момент $t_2$, когда напряжение снова опускается до $U_з$.

Момент зажигания $t_1$ находится из уравнения:

$U_m \sin(\omega t_1) = U_з \implies \omega t_1 = \arcsin\left(\frac{U_з}{U_m}\right)$.

Из-за симметрии синусоиды относительно фазы $\pi/2$ (момент времени $t=T/4$), момент гашения $t_2$ определяется из соотношения $\omega t_2 = \pi - \omega t_1$.

Длительность горения лампы в течение одного полупериода составляет:

$\Delta t_{1} = t_2 - t_1 = \frac{\pi - \omega t_1}{\omega} - \frac{\omega t_1}{\omega} = \frac{\pi - 2\omega t_1}{\omega}$.

В отрицательном полупериоде процесс полностью симметричен, поэтому длительность горения $\Delta t_2$ будет такой же. Общее время горения за весь период $\text{T}$ будет в два раза больше:

$\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 2 \cdot \Delta t_{1} = \frac{2(\pi - 2\omega t_1)}{\omega}$.

Искомая часть периода, в течение которой лампа горит, равна отношению $\frac{\Delta t}{T}$. Период переменного тока $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{2(\pi - 2\omega t_1)/\omega}{2\pi/\omega} = \frac{\pi - 2\omega t_1}{\pi} = 1 - \frac{2\omega t_1}{\pi}$.

Подставим выражение для фазы $\omega t_1$:

$\frac{\Delta t}{T} = 1 - \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\frac{U_з}{U_m}\right) = 1 - \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\frac{U_з}{U\sqrt{2}}\right)$.

Теперь подставим числовые значения:

$\frac{U_з}{U\sqrt{2}} = \frac{156}{220\sqrt{2}} \approx \frac{156}{311.13} \approx 0.5014$.

Найдем значение арксинуса в радианах:

$\arcsin(0.5014) \approx 0.5251$ рад.

Вычислим искомую долю:

$\frac{\Delta t}{T} \approx 1 - \frac{2 \cdot 0.5251}{\pi} \approx 1 - \frac{1.0502}{3.1416} \approx 1 - 0.3343 \approx 0.6657$.

Округляя, получаем, что лампа горит примерно $2/3$ периода.

Ответ: Лампа горит в течение $1 - \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\frac{156}{220\sqrt{2}}\right) \approx 0.67$ части периода.