Номер 3.13, страница 143 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Третий уровень - номер 3.13, страница 143.

Условие.

Т 3.13. Колебательный контур с периодом колебаний 1 мкс имеет индуктивность 0,2 мГн и активное сопротивление 2 Ом. На сколько процентов уменьшается энергия этого контура за время одного колебания? Потерями энергии на излучение можно пренебречь.

А. На 0,001%.

Б. На 0,01%.

В. На 0,1%.

Г. На 1%.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Период колебаний: $T = 1$ мкс

Индуктивность: $L = 0,2$ мГн

Активное сопротивление: $R = 2$ Ом

Перевод в систему СИ:

$T = 1 \cdot 10^{-6}$ с

$L = 0,2 \cdot 10^{-3}$ Гн $= 2 \cdot 10^{-4}$ Гн

$R = 2$ Ом

Найти:

Относительное уменьшение энергии за один период $\frac{\Delta W}{W_0}$ в процентах.

Решение:

Энергия в колебательном контуре с активным сопротивлением уменьшается со временем из-за потерь на нагревание резистора (джоулево тепло). Закон изменения энергии во времени для затухающих колебаний имеет вид:

$W(t) = W_0 e^{-2\beta t}$

где $W_0$ — начальная энергия контура, $W(t)$ — энергия в момент времени $\text{t}$, а $\beta$ — коэффициент затухания, который определяется по формуле:

$\beta = \frac{R}{2L}$

Вычислим коэффициент затухания для данного контура:

$\beta = \frac{2 \text{ Ом}}{2 \cdot (2 \cdot 10^{-4} \text{ Гн})} = \frac{2}{4 \cdot 10^{-4}} \text{ с}^{-1} = 0,5 \cdot 10^4 \text{ с}^{-1} = 5000 \text{ с}^{-1}$

Уменьшение энергии за время одного колебания, то есть за время $t=T$, можно найти, рассчитав энергию $W(T)$ в конце периода:

$W(T) = W_0 e^{-2\beta T}$

Потеря энергии за один период равна:

$\Delta W = W_0 - W(T) = W_0 - W_0 e^{-2\beta T} = W_0 (1 - e^{-2\beta T})$

Относительное уменьшение энергии равно:

$\frac{\Delta W}{W_0} = 1 - e^{-2\beta T}$

Подставим известные значения, чтобы найти показатель степени в экспоненте:

$2\beta T = 2 \cdot 5000 \text{ с}^{-1} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 10000 \cdot 10^{-6} = 0,01$

Так как значение показателя степени $2\beta T = 0,01$ мало (значительно меньше 1), можно использовать приближенную формулу $e^{-x} \approx 1 - x$ для малых $\text{x}$.

Тогда относительное уменьшение энергии будет:

$\frac{\Delta W}{W_0} \approx 1 - (1 - 2\beta T) = 2\beta T = 0,01$

Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100%:

$\frac{\Delta W}{W_0} \times 100\% = 0,01 \times 100\% = 1\%$

Таким образом, энергия контура за время одного колебания уменьшается на 1%, что соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г. На 1%.