Номер 3.12, страница 143 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Третий уровень - номер 3.12, страница 143.

Условие.

Т 3.12. Внутреннее сопротивление источника тока 3 Ом, его ЭДС равна 9 В. Как нужно соединить между собой четыре одинаковых резистора сопротивлениями по 5 Ом, чтобы при их подключении к этому источнику во внешней цепи выделялась максимально возможная мощность?

А, Б, В, Г — см. соответствующие рисунки.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Рис. г

Решение.

Решение 2.

Дано:

Внутреннее сопротивление источника, $r = 3$ Ом
ЭДС источника, $\varepsilon = 9$ В
Количество резисторов, $n = 4$
Сопротивление каждого резистора, $R_0 = 5$ Ом
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Способ соединения резисторов, при котором во внешней цепи выделяется максимальная мощность.

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи, определяется формулой: $P_{ext} = I^2 R_{ext}$, где $\text{I}$ - сила тока в цепи, а $R_{ext}$ - сопротивление внешней цепи. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна $I = \frac{\varepsilon}{R_{ext} + r}$, где $\varepsilon$ - ЭДС источника, а $\text{r}$ - его внутреннее сопротивление.

Подставив выражение для тока в формулу мощности, получим зависимость мощности от сопротивления внешней цепи:

$P_{ext}(R_{ext}) = \left(\frac{\varepsilon}{R_{ext} + r}\right)^2 R_{ext}$

Согласно теореме о максимальной мощности (теореме Якоби), мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает своего максимального значения, когда сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока, то есть при выполнении условия:

$R_{ext} = r$

По условию задачи, внутреннее сопротивление источника $r = 3 \text{ Ом}$. Следовательно, для получения максимальной мощности необходимо, чтобы эквивалентное сопротивление внешней цепи, состоящей из четырех резисторов, было равно $3 \text{ Ом}$.

Рассчитаем эквивалентное сопротивление $R_{ext}$ для каждой из предложенных на рисунках схем.

А. Схема на рис. а (последовательное соединение)

При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех резисторов:

$R_{ext,а} = R_0 + R_0 + R_0 + R_0 = 4R_0 = 4 \cdot 5 \text{ Ом} = 20 \text{ Ом}$

Б. Схема на рис. б (смешанное соединение)

Схема представляет собой две параллельные ветви, в каждой из которых по два резистора соединены последовательно. Сопротивление каждой такой ветви:

$R_{ветви} = R_0 + R_0 = 2R_0 = 2 \cdot 5 \text{ Ом} = 10 \text{ Ом}$

Общее сопротивление двух одинаковых параллельных ветвей:

$R_{ext,б} = \frac{R_{ветви}}{2} = \frac{10 \text{ Ом}}{2} = 5 \text{ Ом}$

В. Схема на рис. в (смешанное соединение)

Схема состоит из двух параллельно соединенных ветвей. Сопротивление первой ветви (три резистора последовательно):

$R_{ветви1} = 3R_0 = 3 \cdot 5 \text{ Ом} = 15 \text{ Ом}$

Сопротивление второй ветви (один резистор):

$R_{ветви2} = R_0 = 5 \text{ Ом}$

Общее сопротивление цепи:

$\frac{1}{R_{ext,в}} = \frac{1}{R_{ветви1}} + \frac{1}{R_{ветви2}} = \frac{1}{15} + \frac{1}{5} = \frac{1+3}{15} = \frac{4}{15} \text{ Ом}^{-1}$

$R_{ext,в} = \frac{15}{4} \text{ Ом} = 3.75 \text{ Ом}$

Г. Схема на рис. г (смешанное соединение)

Схема состоит из двух параллельных ветвей. Нижняя ветвь имеет сопротивление $R_{ветви2} = R_0 = 5 \text{ Ом}$.Верхняя ветвь состоит из резистора, соединенного последовательно с участком из двух параллельно соединенных резисторов. Сопротивление параллельного участка:

$R_{парал.} = \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = \frac{R_0}{2} = \frac{5}{2} \text{ Ом} = 2.5 \text{ Ом}$

Сопротивление всей верхней ветви:

$R_{ветви1} = R_0 + R_{парал.} = 5 \text{ Ом} + 2.5 \text{ Ом} = 7.5 \text{ Ом}$

Общее эквивалентное сопротивление всей схемы:

$\frac{1}{R_{ext,г}} = \frac{1}{R_{ветви1}} + \frac{1}{R_{ветви2}} = \frac{1}{7.5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \text{ Ом}^{-1}$

$R_{ext,г} = 3 \text{ Ом}$

Сравнивая полученные значения, видим, что только для схемы на рисунке Г выполняется условие максимальной мощности $R_{ext} = r = 3 \text{ Ом}$.

Ответ: Чтобы во внешней цепи выделялась максимально возможная мощность, необходимо соединить резисторы по схеме, изображенной на рисунке Г.