Номер 3.5, страница 141 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Третий уровень - номер 3.5, страница 141.

Условие.

Т 3.5. В стоящий на столе цилиндрический сосуд налита вода до высоты $\text{H}$. На какой высоте $\text{h}$ следует сделать маленькое отверстие в стенке сосуда, чтобы струя воды попадала на стол как можно дальше от сосуда? Каково при этом расстояние $\text{l}$ от сосуда до точки попадания струи на стол?

А. $h = H/2$, $l = \sqrt{2} H$.

Б. $h = H/\sqrt{2}$, $l = \sqrt{2} H$.

В. $h = 0$, $l = H$.

Г. $h = H/2$, $l = H$.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано

Высота столба воды в цилиндрическом сосуде: $\text{H}$.

Высота, на которой сделано отверстие (отсчитывается от дна сосуда): $\text{h}$.

Расстояние от сосуда до точки падения струи: $\text{l}$.

Найти:

Высоту $\text{h}$, при которой дальность полета струи $\text{l}$ будет максимальной, и саму максимальную дальность $l_{max}$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом Торричелли и формулами для движения тела, брошенного горизонтально.

1. Скорость истечения воды из отверстия. Согласно закону Торричелли, скорость $\text{v}$, с которой вода вытекает из отверстия, находящегося на глубине $(H-h)$ от поверхности, равна:

$v = \sqrt{2g(H-h)}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

2. Время полета струи. Струя воды, вытекая из отверстия, движется по параболической траектории. Движение можно разложить на горизонтальное (равномерное) и вертикальное (свободное падение). Время полета $\text{t}$ определяется временем падения с высоты $\text{h}$ с нулевой начальной вертикальной скоростью:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда находим время полета:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

3. Дальность полета струи. Дальность полета $\text{l}$ — это расстояние, которое струя пролетает по горизонтали за время $\text{t}$ со скоростью $\text{v}$:

$l = v \cdot t$

Подставим выражения для $\text{v}$ и $\text{t}$:

$l(h) = \sqrt{2g(H-h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2g(H-h) \frac{2h}{g}} = \sqrt{4h(H-h)} = 2\sqrt{Hh - h^2}$

4. Нахождение максимальной дальности. Чтобы найти высоту $\text{h}$, при которой дальность $\text{l}$ максимальна, необходимо найти максимум функции $l(h) = 2\sqrt{Hh - h^2}$. Это эквивалентно нахождению максимума подкоренного выражения $f(h) = Hh - h^2$. Для этого найдем производную функции $f(h)$ по $\text{h}$ и приравняем ее к нулю:

$f'(h) = \frac{d}{dh}(Hh - h^2) = H - 2h$

Приравниваем производную к нулю:

$H - 2h = 0 \implies h = \frac{H}{2}$

Таким образом, максимальная дальность полета достигается, когда отверстие находится на середине высоты столба воды.

5. Вычисление максимальной дальности $l_{max}$. Подставим найденное значение $h = H/2$ в формулу для дальности $\text{l}$:

$l_{max} = 2\sqrt{H\left(\frac{H}{2}\right) - \left(\frac{H}{2}\right)^2} = 2\sqrt{\frac{H^2}{2} - \frac{H^2}{4}} = 2\sqrt{\frac{H^2}{4}} = 2 \cdot \frac{H}{2} = H$

Итак, максимальная дальность полета струи равна высоте столба воды в сосуде.

Сравнивая полученные результаты ($h = H/2$ и $l = H$) с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант Г.

Г. $h = H/2, l = H$.

Ответ: $h = H/2, l = H$.