Номер 3.3, страница 141 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Третий уровень - номер 3.3, страница 141.

Условие.

Т 3.3. Тело, брошенное вертикально вверх, побывало на высоте 50 м дважды с интервалом в 3 с. Каково полное время полета тела?

А. 6 с.

Б. 6,2 с.

В. 7 с.

Г. 9,3 с.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$h = 50$ м

$\Delta t = 3$ с

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

$T_{полн}$ - ?

Решение:

Запишем уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх, с начальной скоростью $v_0$ (ось $\text{Y}$ направлена вверх, начало отсчета на земле):

$y(t) = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Нам нужно найти моменты времени $\text{t}$, когда тело находится на высоте $h = 50$ м. Для этого решим уравнение:

$h = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Это квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$:

$\frac{g}{2} t^2 - v_0 t + h = 0$

Корни этого уравнения, $t_1$ и $t_2$, представляют собой моменты времени, когда тело находилось на высоте $\text{h}$. $t_1$ — при движении вверх, $t_2$ — при движении вниз. По условию, интервал между этими моментами $\Delta t = t_2 - t_1 = 3$ с.

Решения квадратного уравнения для $\text{t}$ имеют вид:

$t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot h}}{2 \cdot \frac{g}{2}} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$

Тогда $t_1 = \frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$ и $t_2 = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$.

Найдем разность $t_2 - t_1$:

$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g} - \frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g} = \frac{2\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}$

Время подъема тела до максимальной высоты $t_п$ определяется из условия, что на пике траектории скорость равна нулю: $v(t_п) = v_0 - gt_п = 0$, откуда $t_п = \frac{v_0}{g}$.

Полное время полета тела $T_{полн}$ (время от броска до возвращения на исходную высоту) в два раза больше времени подъема: $T_{полн} = 2t_п = \frac{2v_0}{g}$.

Выразим $v_0$ через $t_п$ в формуле для $\Delta t$ ($v_0 = g t_п$):

$\Delta t = \frac{2\sqrt{(g t_п)^2 - 2gh}}{g} = 2\sqrt{\frac{(g t_п)^2 - 2gh}{g^2}} = 2\sqrt{t_п^2 - \frac{2h}{g}}$

Теперь из этого выражения найдем время подъема $t_п$:

$\frac{\Delta t}{2} = \sqrt{t_п^2 - \frac{2h}{g}}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\frac{\Delta t}{2})^2 = t_п^2 - \frac{2h}{g}$

$t_п^2 = (\frac{\Delta t}{2})^2 + \frac{2h}{g}$

Подставим числовые значения:

$t_п^2 = (\frac{3}{2})^2 + \frac{2 \cdot 50}{10} = (1.5)^2 + 10 = 2.25 + 10 = 12.25 \text{ с}^2$

$t_п = \sqrt{12.25} = 3.5$ с.

Полное время полета равно:

$T_{полн} = 2t_п = 2 \cdot 3.5 \text{ с} = 7$ с.

Полученный результат 7 с соответствует варианту ответа В.

Ответ: 7 с.