Номер 3.1, страница 141 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Третий уровень - номер 3.1, страница 141.

Условие.

T 3.1. Две звезды, имеющие одинаковые массы $\text{M}$, вращаются вокруг общего центра масс, находясь на постоянном расстоянии $\text{R}$ друг от друга. Каков период обращения звезд, если их радиусы намного меньше $\text{R}$?

А. $R/\sqrt{GM}$ .

Б. $4\pi R\sqrt{R/(GM)}$ .

В. $R^{3/2}/\sqrt{GM}$ .

Г. $\pi R\sqrt{2R/(GM)}$ .

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первой звезды: $m_1 = M$

Масса второй звезды: $m_2 = M$

Расстояние между звездами: $\text{R}$

Гравитационная постоянная: $\text{G}$

Найти:

Период обращения звезд: $\text{T}$

Решение:

Две звезды с одинаковыми массами $\text{M}$ вращаются вокруг их общего центра масс. Поскольку массы звезд равны, их общий центр масс находится ровно посередине между ними. Таким образом, каждая звезда движется по круговой орбите, радиус которой $\text{r}$ равен половине расстояния между звездами:

$r = \frac{R}{2}$

Движение каждой звезды по орбите происходит под действием силы гравитационного притяжения со стороны другой звезды. Эта сила является центростремительной. Величина силы гравитационного притяжения между звездами определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M \cdot M}{R^2} = G \frac{M^2}{R^2}$

Центростремительная сила, необходимая для движения звезды массой $\text{M}$ по окружности радиусом $\text{r}$ со скоростью $\text{v}$, равна:

$F_c = M a_c = M \frac{v^2}{r}$

Приравняем силу гравитационного притяжения к центростремительной силе:

$F_g = F_c$

$G \frac{M^2}{R^2} = M \frac{v^2}{r}$

Подставим в это уравнение значение радиуса орбиты $r = R/2$:

$G \frac{M^2}{R^2} = M \frac{v^2}{R/2}$

Сократим массу $\text{M}$ и преобразуем выражение для нахождения квадрата скорости $v^2$:

$G \frac{M}{R^2} = \frac{2v^2}{R}$

$v^2 = \frac{GMR}{2R^2} = \frac{GM}{2R}$

Отсюда скорость каждой звезды равна:

$v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое звезда совершает один полный оборот по своей орбите. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности $L=2\pi r$) к скорости движения $\text{v}$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi r}{v}$

Подставим найденные выражения для $\text{r}$ и $\text{v}$:

$T = \frac{2\pi (R/2)}{\sqrt{\frac{GM}{2R}}} = \frac{\pi R}{\sqrt{\frac{GM}{2R}}}$

Упростим полученное выражение:

$T = \pi R \cdot \sqrt{\frac{2R}{GM}}$

Полученный результат соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г. $\pi R\sqrt{2R/(GM)}$