Номер 3.6, страница 142 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Третий уровень - номер 3.6, страница 142.

Условие.

Т 3.6. Два одинаковых маленьких шарика подвешены близко друг к другу на нитях длиной 1 м и 25 см (см. рисунок). Шарик 1 отводят немного влево и отпускают без толчка. Сколько столкновений шариков произойдет за 3,3 с? Все столкновения — лобовые и упругие.

А. 2.

Б. 3.

В. 4.

Г. 5.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина нити первого шарика, $l_1 = 1 \text{ м}$

Длина нити второго шарика, $l_2 = 25 \text{ см}$

Общее время наблюдения, $t = 3.3 \text{ с}$

Шарики одинаковые (массы равны, $m_1 = m_2$), столкновения лобовые и упругие.

$l_2 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

$\text{N}$ — количество столкновений за время $\text{t}$.

Решение:

Два шарика на нитях представляют собой два математических маятника. Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина нити, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Для упрощения расчетов примем $g \approx \pi^2 \approx 9.87 \text{ м/с}^2$.

Найдем периоды колебаний для каждого шарика:

Период первого шарика:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{\pi^2 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} \text{ с} = 2 \text{ с}$

Период второго шарика:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.25 \text{ м}}{\pi^2 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \cdot \frac{0.5}{\pi} \text{ с} = 1 \text{ с}$

Рассмотрим последовательность событий:

1. В начальный момент времени $t_0=0$ шарик 1 отпускают из крайнего левого положения. Он начнет движение к положению равновесия, где находится шарик 2. Время, за которое он достигнет шарика 2, равно четверти его периода.

Первое столкновение произойдет в момент времени:

$t_{c1} = \frac{T_1}{4} = \frac{2 \text{ с}}{4} = 0.5 \text{ с}$

Поскольку шарики одинаковые и столкновение упругое, они обмениваются скоростями. Шарик 1 остановится в положении равновесия, а шарик 2 начнет движение с той же скоростью.

2. Шарик 2 отклонится вправо и вернется в положение равновесия. На это он затратит время, равное половине своего периода.

Второе столкновение произойдет в момент времени:

$t_{c2} = t_{c1} + \frac{T_2}{2} = 0.5 \text{ с} + \frac{1 \text{ с}}{2} = 0.5 \text{ с} + 0.5 \text{ с} = 1.0 \text{ с}$

Шарики снова обменяются скоростями: шарик 2 остановится, а шарик 1 начнет движение влево.

3. Шарик 1 отклонится влево и вернется в положение равновесия. На это он затратит время, равное половине своего периода.

Третье столкновение произойдет в момент времени:

$t_{c3} = t_{c2} + \frac{T_1}{2} = 1.0 \text{ с} + \frac{2 \text{ с}}{2} = 1.0 \text{ с} + 1.0 \text{ с} = 2.0 \text{ с}$

Шарик 1 останавливается, шарик 2 начинает движение вправо.

4. Шарик 2 снова совершит половину колебания.

Четвертое столкновение произойдет в момент времени:

$t_{c4} = t_{c3} + \frac{T_2}{2} = 2.0 \text{ с} + \frac{1 \text{ с}}{2} = 2.0 \text{ с} + 0.5 \text{ с} = 2.5 \text{ с}$

Шарик 2 останавливается, шарик 1 начинает движение влево.

5. Найдем время следующего, пятого, столкновения. Оно произойдет, когда шарик 1 вернется в положение равновесия, затратив на это половину своего периода.

Пятое столкновение произошло бы в момент времени:

$t_{c5} = t_{c4} + \frac{T_1}{2} = 2.5 \text{ с} + \frac{2 \text{ с}}{2} = 2.5 \text{ с} + 1.0 \text{ с} = 3.5 \text{ с}$

Сравним моменты столкновений с заданным временем $t = 3.3 \text{ с}$:

$t_{c1} = 0.5 \text{ с} < 3.3 \text{ с}$

$t_{c2} = 1.0 \text{ с} < 3.3 \text{ с}$

$t_{c3} = 2.0 \text{ с} < 3.3 \text{ с}$

$t_{c4} = 2.5 \text{ с} < 3.3 \text{ с}$

$t_{c5} = 3.5 \text{ с} > 3.3 \text{ с}$

Таким образом, за 3.3 секунды произойдет 4 столкновения. Пятое столкновение произойти не успеет.

Ответ: 4.