Номер 2.10, страница 140 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Второй уровень - номер 2.10, страница 140.

Условие.

Т 2.10. Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной 10 см (см. рисунок). Какова равнодействующая приложенных к каждому из зарядов кулоновских сил, если $q = 5 \text{ нКл}$?

А. 34 мкН.

Б. 21 мкН.

В. 43 мкН.

Г. 56 мкН.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сторона квадрата, $a = 10$ см

Величина заряда, $q = 5$ нКл

Переведем данные в систему СИ:

$a = 0.1$ м

$q = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл

Константа в законе Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^{9} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Равнодействующую кулоновских сил $\text{F}$, приложенную к каждому из зарядов.

Решение:

В силу симметрии расположения зарядов, модуль равнодействующей силы, действующей на каждый из четырех зарядов, будет одинаков. Рассчитаем эту силу для положительного заряда $+q$, расположенного в левом верхнем углу квадрата. На этот заряд действуют три кулоновские силы:

1. Сила притяжения $\vec{F_1}$ со стороны отрицательного заряда $-q$ в правом верхнем углу. Она направлена горизонтально вправо.

2. Сила притяжения $\vec{F_2}$ со стороны отрицательного заряда $-q$ в левом нижнем углу. Она направлена вертикально вниз.

3. Сила отталкивания $\vec{F_3}$ со стороны положительного заряда $+q$ в правом нижнем углу. Она направлена по диагонали вверх и влево.

Модули этих сил определяются по закону Кулона: $F_{c} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$.

Расстояние между соседними зарядами равно стороне квадрата $\text{a}$. Модули сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ равны между собой:

$F_1 = F_2 = k \frac{|(+q)(-q)|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

Расстояние между диагонально противоположными зарядами равно диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$. Модуль силы $\vec{F_3}$ равен:

$F_3 = k \frac{|(+q)(+q)|}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$

Результирующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$.

Сначала найдем векторную сумму сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$. Так как они перпендикулярны друг другу и равны по модулю, их равнодействующая $\vec{F_{12}}$ направлена по диагонали вниз и вправо, а ее модуль по теореме Пифагора равен:

$F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{(k \frac{q^2}{a^2})^2 + (k \frac{q^2}{a^2})^2} = \sqrt{2(k \frac{q^2}{a^2})^2} = k \frac{q^2}{a^2}\sqrt{2}$

Сила $\vec{F_3}$ направлена по той же диагонали, что и $\vec{F_{12}}$, но в противоположную сторону. Следовательно, модуль итоговой равнодействующей силы $\text{F}$ равен разности модулей векторов $\vec{F_{12}}$ и $\vec{F_3}$:

$F = |F_{12} - F_3| = |k \frac{q^2}{a^2}\sqrt{2} - k \frac{q^2}{2a^2}| = k \frac{q^2}{a^2}(\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Подставим числовые значения:

$F = 9 \cdot 10^9 \frac{(5 \cdot 10^{-9})^2}{(0.1)^2} (\sqrt{2} - \frac{1}{2}) = 9 \cdot 10^9 \frac{25 \cdot 10^{-18}}{0.01} (1.414 - 0.5)$

$F = 9 \cdot 10^9 \cdot (25 \cdot 10^{-16}) \cdot (0.914) = 225 \cdot 10^{-7} \cdot 0.914$

$F \approx 205.65 \cdot 10^{-7} \text{ Н} \approx 20.6 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 20.6 \text{ мкН}$

Полученное значение $20.6$ мкН наиболее близко к варианту ответа Б (21 мкН).

Ответ: Б. 21 мкН.