Номер 2.7, страница 139 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Тесты. Второй уровень - номер 2.7, страница 139.

Условие.

Т 2.7. Как изменились бы абсолютная температура $\text{T}$ и давление $\text{p}$ газа в герметично закрытом баллоне, если скорость каждой молекулы увеличилась бы вдвое?

А. $\text{T}$ и $\text{p}$ увеличились бы в 2 раза.

Б. $\text{T}$ увеличилась бы в 2 раза, $\text{p}$ — в 4.

В. $\text{T}$ увеличилась бы в 4 раза, $\text{p}$ — в 2.

Г. $\text{T}$ и $\text{p}$ увеличились бы в 4 раза.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Газ в герметично закрытом баллоне.

Начальная скорость молекул: $v_1$.

Конечная скорость молекул: $v_2 = 2v_1$.

Начальная температура: $T_1$.

Начальное давление: $p_1$.

Процесс изохорный: $V = \text{const}$.

Количество газа постоянно: $\nu = \text{const}$.

Найти:

Во сколько раз изменятся абсолютная температура $\text{T}$ и давление $\text{p}$ газа.

Решение:

1. Изменение абсолютной температуры (T)

Абсолютная температура газа является мерой средней кинетической энергии поступательного движения его молекул. Средняя кинетическая энергия $\bar{E_k}$ связана с абсолютной температурой $\text{T}$ соотношением:

$\bar{E_k} = \frac{3}{2}kT$

где $\text{k}$ – постоянная Больцмана.

В свою очередь, средняя кинетическая энергия молекулы массой $m_0$ зависит от среднего квадрата скорости $\overline{v^2}$:

$\bar{E_k} = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}$

Из этих формул следует прямая пропорциональность между абсолютной температурой и средним квадратом скорости молекул: $T \propto \overline{v^2}$.

По условию задачи, скорость каждой молекулы увеличилась вдвое ($v_2 = 2v_1$). Это означает, что новый средний квадрат скорости $\overline{v_2^2}$ будет в 4 раза больше исходного $\overline{v_1^2}$:

$\overline{v_2^2} = \overline{(2v_1)^2} = \overline{4v_1^2} = 4\overline{v_1^2}$

Поскольку $T \propto \overline{v^2}$, отношение конечной температуры $T_2$ к начальной $T_1$ равно:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\overline{v_2^2}}{\overline{v_1^2}} = \frac{4\overline{v_1^2}}{\overline{v_1^2}} = 4$

Таким образом, абсолютная температура газа увеличится в 4 раза.

2. Изменение давления (p)

Давление газа можно найти из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $\text{n}$ – концентрация молекул. Так как газ находится в герметично закрытом баллоне, его объем $\text{V}$ и число молекул $\text{N}$ не меняются, следовательно, концентрация $n=N/V$ остается постоянной.

Из уравнения видно, что при постоянных $\text{n}$ и $m_0$ давление прямо пропорционально среднему квадрату скорости: $p \propto \overline{v^2}$.

Следовательно, отношение давлений будет таким же, как и отношение средних квадратов скоростей:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\overline{v_2^2}}{\overline{v_1^2}} = 4$

Давление газа также увеличится в 4 раза.

Этот же результат можно получить из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$. Для изохорного процесса ($V = \text{const}$) и постоянного количества газа ($\nu = \text{const}$) выполняется закон Шарля:

$\frac{p}{T} = \text{const} \implies \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Выразим отсюда $p_2$:

$p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$

Так как мы уже выяснили, что $\frac{T_2}{T_1} = 4$, то и $\frac{p_2}{p_1} = 4$.

Итак, и температура, и давление увеличатся в 4 раза, что соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г. T и p увеличились бы в 4 раза.