Задача 9.1, страница 43 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 9.1. Источник постоянного тока находится на расстоянии 10 м от электрического нагревателя с электрическим сопротивлением спирали 10 Ом. Чему равно минимальное допустимое значение площади поперечного сечения алюминиевого провода, соединяющего нагреватель с источником тока, при условии, что на подводящих проводах падение напряжения не должно превышать 2% от напряжения на спирали нагревателя?

Дано:

Расстояние от источника до нагревателя, $d = 10 \text{ м}$

Сопротивление спирали нагревателя, $R_{н} = 10 \text{ Ом}$

Материал провода - алюминий, удельное сопротивление $\rho = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Максимальное относительное падение напряжения на проводах, $k = 2\% = 0.02$

Найти:

Минимальную площадь поперечного сечения провода, $S_{min}$

Решение:

Нагреватель и подводящие провода соединены последовательно, поэтому через них протекает один и тот же ток $\text{I}$.

Падение напряжения на спирали нагревателя определяется по закону Ома:

$U_{н} = I \cdot R_{н}$

Падение напряжения на подводящих проводах:

$U_{п} = I \cdot R_{п}$

где $R_{п}$ — сопротивление подводящих проводов.

Согласно условию задачи, падение напряжения на проводах не должно превышать 2% от напряжения на спирали:

$U_{п} \le 0.02 \cdot U_{н}$

Подставим выражения для напряжений:

$I \cdot R_{п} \le 0.02 \cdot I \cdot R_{н}$

Так как ток в цепи не равен нулю ($I \ne 0$), можно сократить обе части неравенства на $\text{I}$:

$R_{п} \le 0.02 \cdot R_{н}$

Это условие для максимального допустимого сопротивления проводов. Сопротивление провода связано с его геометрическими размерами и материалом формулой:

$R_{п} = \rho \frac{L}{S}$

где $\text{L}$ — общая длина провода, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения. Поскольку провод соединяет источник с нагревателем, его общая длина равна удвоенному расстоянию: $L = 2d$.

$R_{п} = \rho \frac{2d}{S}$

Подставим это выражение в неравенство для сопротивлений:

$\rho \frac{2d}{S} \le 0.02 \cdot R_{н}$

Чтобы найти минимально допустимую площадь поперечного сечения $S_{min}$, нужно рассмотреть случай максимально допустимого сопротивления проводов, то есть использовать знак равенства:

$\rho \frac{2d}{S_{min}} = 0.02 \cdot R_{н}$

Выразим отсюда $S_{min}$:

$S_{min} = \frac{\rho \cdot 2d}{0.02 \cdot R_{н}}$

Подставим числовые значения:

$S_{min} = \frac{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 2 \cdot 10 \text{ м}}{0.02 \cdot 10 \text{ Ом}} = \frac{5.6 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}^2}{0.2 \text{ Ом}} = 2.8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Переведем результат в квадратные миллиметры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10^6 \text{ мм}^2$:

$S_{min} = 2.8 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 \text{ мм}^2 = 2.8 \text{ мм}^2$

Ответ: минимальное допустимое значение площади поперечного сечения алюминиевого провода равно $2.8 \text{ мм}^2$.