Задача 9.2, страница 43 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 9.2. Стоимость электрического кабеля определяется в основном стоимостью используемого металла. При проектировании определяется допустимое значение электрического сопротивления кабеля на данном участке. Кабель из какого металла в этих условиях экономически предпочтительно использовать, если цена меди 170 р. за 1 кг, а цена алюминия 60 р. за 1 кг?

Дано:

Цена меди $c_{Cu} = 170$ р/кг

Цена алюминия $c_{Al} = 60$ р/кг

Условие: сопротивления и длины кабелей одинаковы: $R_{Cu} = R_{Al} = R$, $L_{Cu} = L_{Al} = L$.

Для решения задачи воспользуемся справочными данными:

Удельное сопротивление меди $\rho_{Cu} = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность меди $d_{Cu} = 8960$ кг/м³

Удельное сопротивление алюминия $\rho_{Al} = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность алюминия $d_{Al} = 2700$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

Все приведенные величины уже выражены в единицах системы СИ или совместимых с ней, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Какой кабель экономически предпочтительнее использовать, то есть сравнить их стоимости $C_{Cu}$ и $C_{Al}$.

Решение:

Чтобы определить, какой кабель экономически выгоднее, необходимо сравнить стоимости медного и алюминиевого кабелей одинаковой длины $\text{L}$ и имеющих одинаковое электрическое сопротивление $\text{R}$.

Стоимость кабеля $\text{C}$ определяется произведением цены металла за килограмм $\text{c}$ на его массу $\text{m}$:

$C = c \cdot m$

Масса кабеля $\text{m}$ может быть выражена через его плотность $\text{d}$, площадь поперечного сечения $\text{S}$ и длину $\text{L}$:

$m = d \cdot V = d \cdot S \cdot L$

Сопротивление кабеля $\text{R}$ определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ - удельное электрическое сопротивление материала.

Из формулы сопротивления выразим площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$S = \frac{\rho \cdot L}{R}$

Теперь подставим выражения для массы $\text{m}$ и площади сечения $\text{S}$ в формулу стоимости $\text{C}$:

$C = c \cdot m = c \cdot d \cdot S \cdot L = c \cdot d \cdot \left(\frac{\rho \cdot L}{R}\right) \cdot L = \frac{c \cdot d \cdot \rho \cdot L^2}{R}$

Поскольку мы сравниваем кабели с одинаковыми $\text{L}$ и $\text{R}$, чтобы определить, какой из них дешевле, достаточно сравнить произведение $c \cdot d \cdot \rho$ для меди и алюминия. Найдем отношение стоимостей алюминиевого и медного кабелей:

$\frac{C_{Al}}{C_{Cu}} = \frac{\frac{c_{Al} \cdot d_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot L^2}{R}}{\frac{c_{Cu} \cdot d_{Cu} \cdot \rho_{Cu} \cdot L^2}{R}} = \frac{c_{Al} \cdot d_{Al} \cdot \rho_{Al}}{c_{Cu} \cdot d_{Cu} \cdot \rho_{Cu}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{C_{Al}}{C_{Cu}} = \frac{60 \frac{р}{кг} \cdot 2700 \frac{кг}{м^3} \cdot 2.8 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м}{170 \frac{р}{кг} \cdot 8960 \frac{кг}{м^3} \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м}$

$\frac{C_{Al}}{C_{Cu}} = \frac{60 \cdot 2700 \cdot 2.8}{170 \cdot 8960 \cdot 1.7} = \frac{453600}{2589440} \approx 0.175$

Полученное отношение $\frac{C_{Al}}{C_{Cu}} < 1$. Это означает, что стоимость алюминиевого кабеля при заданных условиях составляет примерно 17.5% от стоимости медного кабеля с такими же параметрами длины и сопротивления.

Ответ: В данных условиях экономически предпочтительнее использовать кабель из алюминия.