Вопросы, страница 49 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Вопросы

1. Как можно доказать, что сила тока в общей цепи равна сумме сил токов на всех параллельно соединённых элементах цепи?

2. Как можно доказать, что обратная величина общего электрического сопротивления двух параллельно соединённых резисторов равна сумме обратных величин электрических сопротивлений этих резисторов?

1. Доказательство того, что сила тока в общей цепи равна сумме сил токов на всех параллельно соединённых элементах, основывается на фундаментальном законе сохранения электрического заряда. Рассмотрим узел — точку в электрической цепи, где соединяются несколько проводников (в нашем случае — начало параллельных ветвей).

Электрический ток представляет собой направленное движение заряженных частиц. Сила тока $\text{I}$ определяется как количество заряда $\Delta q$, проходящего через поперечное сечение проводника за промежуток времени $\Delta t$: $I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$.

Согласно закону сохранения заряда, электрические заряды не могут накапливаться в узле или исчезать из него. Это означает, что суммарный заряд, втекающий в узел за определённое время, должен быть равен суммарному заряду, вытекающему из узла за то же время.

Пусть в узел втекает ток $I_{общ}$ (общий ток в неразветвлённой части цепи), а из узла вытекают токи $I_1, I_2, \dots, I_n$, распределяясь по $\text{n}$ параллельным ветвям. За время $\Delta t$ в узел войдёт заряд $\Delta q_{вх} = I_{общ} \cdot \Delta t$. За то же время из узла выйдет суммарный заряд $\Delta q_{вых} = \Delta q_1 + \Delta q_2 + \dots + \Delta q_n = I_1 \cdot \Delta t + I_2 \cdot \Delta t + \dots + I_n \cdot \Delta t$.

Приравнивая втекающий и вытекающий заряды ($\Delta q_{вх} = \Delta q_{вых}$):

$I_{общ} \cdot \Delta t = (I_1 + I_2 + \dots + I_n) \cdot \Delta t$

Сократив обе части уравнения на $\Delta t$, получаем искомое соотношение, также известное как первый закон Кирхгофа (или правило токов):

$I_{общ} = I_1 + I_2 + \dots + I_n$

Это утверждение можно также доказать экспериментально. Для этого нужно включить один амперметр в общую цепь до точки разветвления, а остальные амперметры — в каждую из параллельных ветвей. Сумма показаний амперметров в ветвях будет равна показанию амперметра в общей цепи.

Ответ: Данное утверждение доказывается с помощью закона сохранения электрического заряда, который гласит, что заряд не может накапливаться в узле цепи. Следовательно, суммарный ток, втекающий в точку разветвления, равен сумме токов, вытекающих из неё по параллельным ветвям, что математически выражается как $I_{общ} = \sum_{k=1}^{n} I_k$.

2. Доказательство формулы для общего сопротивления параллельно соединённых резисторов основывается на двух ключевых законах для участка цепи с параллельным соединением: во-первых, напряжение $\text{U}$ на всех параллельно соединённых участках одинаково; во-вторых, общая сила тока $I_{общ}$ в цепи до разветвления равна сумме сил токов в отдельных ветвях: $I_{общ} = I_1 + I_2$ (как было доказано в предыдущем пункте). Также мы будем использовать закон Ома для участка цепи, который связывает силу тока $\text{I}$, напряжение $\text{U}$ и сопротивление $\text{R}$: $I = \frac{U}{R}$.

Рассмотрим два резистора с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, соединённых параллельно. Пусть общее напряжение на этом участке цепи равно $\text{U}$. Так как соединение параллельное, напряжение на первом резисторе равно $\text{U}$, и на втором тоже $\text{U}$.

Используя закон Ома, найдём токи, протекающие через каждый резистор:

Ток через первый резистор: $I_1 = \frac{U}{R_1}$

Ток через второй резистор: $I_2 = \frac{U}{R_2}$

Общий ток $I_{общ}$ в цепи равен сумме токов в ветвях:

$I_{общ} = I_1 + I_2$

Подставим выражения для $I_1$ и $I_2$ в это уравнение:

$I_{общ} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$

Вынесем общее напряжение $\text{U}$ за скобки:

$I_{общ} = U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

Теперь представим, что мы заменили два параллельных резистора одним эквивалентным (общим) резистором с сопротивлением $R_{общ}$. По закону Ома для этого эквивалентного резистора, общий ток через него будет равен:

$I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}}$

Приравняем два полученных выражения для общего тока $I_{общ}$:

$\frac{U}{R_{общ}} = U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

Так как напряжение $\text{U}$ на участке цепи не равно нулю (иначе и тока бы не было), мы можем разделить обе части равенства на $\text{U}$. В результате получаем формулу для обратной величины общего сопротивления:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Это и есть искомое доказательство.

Ответ: Утверждение доказывается с использованием закона Ома и законов для параллельного соединения. Так как напряжение $\text{U}$ на резисторах $R_1$ и $R_2$ одинаково, а общий ток $I_{общ} = I_1 + I_2$, то подставив выражения из закона Ома ($I_1 = U/R_1$, $I_2 = U/R_2$, $I_{общ} = U/R_{общ}$), получим $U/R_{общ} = U/R_1 + U/R_2$. Сократив на $\text{U}$, приходим к выводу, что $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.