Задача 12.10, страница 53 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 12.10. Имеются три нагревательные спирали с электрическим сопротивлением $3\ \text{Ом}$ каждая и источник постоянного тока напряжением $12\ \text{В}$. Нужно подключить эти спирали к источнику тока так, чтобы получился нагреватель наибольшей мощности. По какой из схем, представленных на рисунках 12.2–12.4, следует соединить эти спирали в электрическую цепь? Рассчитайте, за какое время такой нагреватель нагреет воду массой $0,5\ \text{кг}$ от $28\ \degree\text{С}$ до кипения. Удельная теплоёмкость воды $4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot \degree\text{С})$.

Рис. 12.2 Рис. 12.3

Рис. 12.4

Выбор схемы для получения наибольшей мощности

Мощность электрического тока $\text{P}$ в цепи с общим сопротивлением $R_{\text{общ}}$ при напряжении $\text{U}$ определяется формулой: $$ P = \frac{U^2}{R_{\text{общ}}} $$ Поскольку напряжение источника тока $\text{U}$ постоянно ($12 \, В$), наибольшая мощность $\text{P}$ будет достигаться при наименьшем общем сопротивлении цепи $R_{\text{общ}}$. Рассчитаем общее сопротивление для каждой из предложенных схем, где сопротивление каждой спирали $R = 3 \, Ом$.

1. Схема на Рис. 12.2 (последовательное соединение):

При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех элементов. $$ R_{\text{общ1}} = R + R + R = 3R = 3 \cdot 3 \, Ом = 9 \, Ом $$

2. Схема на Рис. 12.3 (смешанное соединение):

Две спирали соединены параллельно, и к ним последовательно подключена третья. Сначала найдем сопротивление параллельного участка: $$ R_{\text{пар}} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2} = \frac{3 \, Ом}{2} = 1.5 \, Ом $$ Общее сопротивление цепи: $$ R_{\text{общ2}} = R_{\text{пар}} + R = 1.5 \, Ом + 3 \, Ом = 4.5 \, Ом $$

3. Схема на Рис. 12.4 (параллельное соединение):

При параллельном соединении трёх одинаковых сопротивлений общее сопротивление рассчитывается по формуле:

$$ \frac{1}{R_{\text{общ3}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} $$

Отсюда: $$ R_{\text{общ3}} = \frac{R}{3} = \frac{3 \, Ом}{3} = 1 \, Ом $$

Сравнивая полученные значения ($9 \, Ом$, $4.5 \, Ом$, $1 \, Ом$), мы видим, что наименьшее сопротивление у схемы на Рис. 12.4. Следовательно, эта схема обеспечивает наибольшую мощность нагревателя.

Ответ: Для получения нагревателя наибольшей мощности следует соединить спирали по схеме, представленной на Рис. 12.4 (параллельное соединение).

Расчет времени нагрева воды

Дано:

Сопротивление каждой спирали, $R = 3 \, Ом$

Количество спиралей, $n = 3$

Напряжение источника, $U = 12 \, В$

Масса воды, $m = 0.5 \, кг$

Начальная температура воды, $t_1 = 28 \, °С$

Конечная температура воды, $t_2 = 100 \, °С$ (температура кипения)

Удельная теплоёмкость воды, $c = 4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С}$

Все данные представлены в системе СИ или в единицах, которые можно использовать в расчетах без преобразования (например, °С для разности температур).

Найти:

Время нагрева, $\tau$

Решение:

1. Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания воды от начальной температуры $t_1$ до температуры кипения $t_2$, вычисляется по формуле: $$ Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) $$

2. Электрический нагреватель совершает работу $\text{A}$, которая полностью переходит в теплоту (пренебрегая потерями тепла в окружающую среду). Таким образом, $A = Q$. Работа тока за время $\tau$ равна: $$ A = P \cdot \tau $$ где $\text{P}$ – мощность нагревателя.

3. Мощность нагревателя, как было выяснено ранее, максимальна при параллельном соединении спиралей (схема на Рис. 12.4). Общее сопротивление в этом случае: $$ R_{\text{общ}} = \frac{R}{n} = \frac{3 \, Ом}{3} = 1 \, Ом $$ Мощность нагревателя: $$ P = \frac{U^2}{R_{\text{общ}}} $$

4. Приравниваем количество теплоты и работу тока: $$ c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) = \frac{U^2}{R_{\text{общ}}} \cdot \tau $$ Выражаем из этой формулы время $\tau$: $$ \tau = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) \cdot R_{\text{общ}}}{U^2} $$

5. Подставляем числовые значения и производим расчет: $$ \tau = \frac{4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 0.5 \, кг \cdot (100 \, °С - 28 \, °С) \cdot 1 \, Ом}{(12 \, В)^2} $$ $$ \tau = \frac{4200 \cdot 0.5 \cdot 72 \cdot 1}{144} \, с $$ $$ \tau = \frac{2100 \cdot 72}{144} \, с $$ Так как $144 = 2 \cdot 72$, то: $$ \tau = \frac{2100 \cdot 72}{2 \cdot 72} \, с = \frac{2100}{2} \, с = 1050 \, с $$ Время можно также выразить в минутах: $1050 \, с / 60 \, \frac{с}{мин} = 17.5 \, мин$.

Ответ: время, за которое нагреватель нагреет воду, составляет 1050 секунд (или 17.5 минут).