Задача 12.12, страница 55 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 12.12. На рисунке 12.9 представлена схема электрической цепи с резисторами, электрические сопротивления которых указаны на схеме. На каком из трёх резисторов мощность электрического тока имеет максимальное значение?

Рис. 12.9

Дано:

Сопротивление первого резистора $R_1 = 1 \text{ Ом}$

Сопротивление второго резистора $R_2 = 2 \text{ Ом}$

Сопротивление третьего резистора $R_3 = 3 \text{ Ом}$

Найти:

Резистор, на котором мощность электрического тока $\text{P}$ имеет максимальное значение.

Решение:

В представленной электрической цепи резистор с сопротивлением $R_1 = 1 \text{ Ом}$ соединен последовательно с участком цепи, состоящим из параллельно соединенных резисторов $R_2 = 2 \text{ Ом}$ и $R_3 = 3 \text{ Ом}$. Мощность электрического тока на резисторе можно рассчитать по формулам $P = I^2 R$ или $P = \frac{U^2}{R}$, где $\text{I}$ — сила тока через резистор, $\text{U}$ — напряжение на нем, а $\text{R}$ — его сопротивление.

Через резистор $R_1$ протекает общий ток цепи, который мы обозначим как $\text{I}$. В точке ветвления этот ток разделяется на токи $I_2$ (через резистор $R_2$) и $I_3$ (через резистор $R_3$). Согласно первому правилу Кирхгофа, $I = I_2 + I_3$. Из этого следует, что полный ток $\text{I}$ всегда больше, чем токи в каждой из параллельных ветвей: $I > I_2$ и $I > I_3$.

Сначала сравним мощности, выделяемые на параллельно соединенных резисторах $R_2$ и $R_3$. Так как они соединены параллельно, напряжение на них одинаково: $U_2 = U_3$. Используя формулу мощности $P = \frac{U^2}{R}$, можно заключить, что при одинаковом напряжении мощность обратно пропорциональна сопротивлению. Поскольку сопротивление $R_2 < R_3$ ($2 \text{ Ом} < 3 \text{ Ом}$), мощность на резисторе $R_2$ будет больше, чем на резисторе $R_3$: $P_2 > P_3$.

Теперь необходимо сравнить мощность $P_1$ на резисторе $R_1$ с мощностями $P_2$ и $P_3$. Для этого выразим все мощности через общий ток $\text{I}$.

1. Мощность на первом резисторе: $P_1 = I^2 R_1 = I^2 \cdot 1 = I^2$.

2. Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи ($R_{23}$):

$R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{2 \text{ Ом} \cdot 3 \text{ Ом}}{2 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом}} = \frac{6}{5} \text{ Ом} = 1.2 \text{ Ом}$.

3. Напряжение на этом параллельном участке равно $U_{23} = I \cdot R_{23} = I \cdot 1.2$.

4. Ток через второй резистор: $I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{I \cdot 1.2}{2} = 0.6 \cdot I$.

5. Мощность на втором резисторе: $P_2 = I_2^2 R_2 = (0.6 \cdot I)^2 \cdot 2 = 0.36 \cdot I^2 \cdot 2 = 0.72 \cdot I^2$.

6. Ток через третий резистор: $I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{I \cdot 1.2}{3} = 0.4 \cdot I$.

7. Мощность на третьем резисторе: $P_3 = I_3^2 R_3 = (0.4 \cdot I)^2 \cdot 3 = 0.16 \cdot I^2 \cdot 3 = 0.48 \cdot I^2$.

Теперь сравним вычисленные мощности:

$P_1 = I^2$

$P_2 = 0.72 \cdot I^2$

$P_3 = 0.48 \cdot I^2$

Из сравнения видно, что $P_1 > P_2 > P_3$. Таким образом, максимальная мощность выделяется на резисторе $R_1$.

Ответ: Максимальное значение мощность электрического тока имеет на резисторе с сопротивлением 1 Ом.