Номер 4, страница 122 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

*4. В электронагревателе никелиновую проволоку заменили нихромовой проволокой такой же длины, и при этом сопротивление проволоки увеличилось в 2 раза. Какая проволока толще? Во сколько раз отличаются диаметры проволок?

(Ответ: нихромовая, в 1,14 раза)

Дано:

Проволока 1 - никелиновая
Проволока 2 - нихромовая
$l_1 = l_2 = l$ (длины проволок одинаковы)
$R_2 = 2 \cdot R_1$ (сопротивление второй проволоки в 2 раза больше)
Удельное электрическое сопротивление никелина (из справочных таблиц): $\rho_1 \approx 0,42$ Ом·мм²/м
Удельное электрическое сопротивление нихрома (из справочных таблиц): $\rho_2 \approx 1,1$ Ом·мм²/м

Найти:

1. Какая проволока толще?
2. Во сколько раз отличаются диаметры проволок?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ , где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь поперечного сечения.

Запишем формулы для сопротивления никелиновой ($R_1$) и нихромовой ($R_2$) проволок, обозначив их длины, удельные сопротивления, площади сечения и диаметры индексами 1 и 2 соответственно.

$R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$

$R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Согласно условию задачи, длины проволок равны ($l_1 = l_2 = l$), а сопротивление второй проволоки в два раза больше первой ($R_2 = 2R_1$). Подставим выражения для сопротивлений в это соотношение:

$\rho_2 \frac{l}{S_2} = 2 \cdot \left( \rho_1 \frac{l}{S_1} \right)$

Длина $l$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$\frac{\rho_2}{S_2} = \frac{2\rho_1}{S_1}$

Из этой пропорции выразим отношение площадей поперечного сечения проволок:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\rho_2}{2\rho_1}$

Площадь поперечного сечения круглой проволоки выражается через ее диаметр $d$ по формуле $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Подставим эту формулу в полученное соотношение для площадей:

$\frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{\rho_2}{2\rho_1}$

После сокращения постоянных $\pi$ и 4 получаем отношение квадратов диаметров:

$\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = \frac{\rho_2}{2\rho_1}$

Чтобы найти отношение диаметров, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{\rho_2}{2\rho_1}}$

Теперь подставим числовые значения удельных сопротивлений никелина и нихрома:

$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{1,1 \mathrm{Ом \cdot мм²/м}}{2 \cdot 0,42 \mathrm{Ом \cdot мм²/м}}} = \sqrt{\frac{1,1}{0,84}} \approx \sqrt{1,3095} \approx 1,144$

Полученное отношение $\frac{d_2}{d_1} \approx 1,14$ больше единицы. Это означает, что диаметр нихромовой проволоки ($d_2$) больше диаметра никелиновой ($d_1$).

Следовательно, нихромовая проволока толще. Отношение их диаметров составляет примерно 1,14.

Ответ: Нихромовая проволока толще. Диаметры проволок отличаются в 1,14 раза.