Страница 158 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин

Решите пример 2 из параграфа в общем виде и проверьте полученную формулу через единицы физических величин.

Поскольку "пример 2 из параграфа" не предоставлен, в качестве примера будет решена в общем виде классическая задача кинематики: нахождение конечной скорости и пройденного пути тела, движущегося с постоянным ускорением.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Ускорение тела (постоянное): $a$

Время движения: $t$

Найти:

Конечную скорость тела: $v$

Путь, пройденный телом: $s$

Решение:

Решение примера в общем виде

Для решения задачи в общем виде необходимо вывести формулы для конечной скорости и пройденного пути при равноускоренном прямолинейном движении.

1. Вывод формулы для конечной скорости $v$.

По определению, ускорение является скоростью изменения скорости, то есть отношением изменения скорости $\Delta v$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$

где $v$ - конечная скорость, $v_0$ - начальная скорость, $t$ - промежуток времени. Выразим из этой формулы конечную скорость $v$:

$at = v - v_0$

$v = v_0 + at$

Это и есть искомая формула для конечной скорости в общем виде.

2. Вывод формулы для пройденного пути $s$.

При движении с постоянным ускорением пройденный путь можно найти как произведение средней скорости на время движения:

$s = \bar{v} \cdot t$

Средняя скорость при равноускоренном движении вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей:

$\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$

Подставим выражение для средней скорости в формулу пути:

$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Теперь подставим в это уравнение полученную ранее формулу для конечной скорости $v = v_0 + at$:

$s = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t$

$s = \frac{2v_0 + at}{2} \cdot t$

$s = (v_0 + \frac{1}{2}at) \cdot t$

$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

Это и есть искомая формула для пройденного пути в общем виде.

Ответ: Формулы для конечной скорости и пройденного пути в общем виде: $v = v_0 + at$, $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.

Проверка полученных формул через единицы физических величин

Для проверки корректности выведенных формул выполним проверку их размерностей. Будем использовать систему СИ (Международную систему единиц). Обозначим размерность величины $X$ как $[X]$.

Единицы измерения основных величин в СИ:
[s] - метры (м)
[t] - секунды (с)
[v], [v₀] - метры в секунду (м/с)
[a] - метры на секунду в квадрате (м/с²)

1. Проверка формулы $v = v_0 + at$.

Чтобы формула была верной, размерности всех слагаемых в правой части должны совпадать с размерностью величины в левой части.

$[v] = [v_0] + [a] \cdot [t]$

Подставим единицы измерения:

$\frac{м}{с} = \frac{м}{с} + \frac{м}{с^2} \cdot с$

Упростим второе слагаемое в правой части:

$\frac{м}{с^2} \cdot с = \frac{м}{с}$

Таким образом, получаем тождество по размерностям:

$\frac{м}{с} = \frac{м}{с} + \frac{м}{с}$

Размерности совпадают, следовательно, формула является верной с точки зрения анализа размерностей.

2. Проверка формулы $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.

Проверим размерности для этой формулы. Числовой коэффициент $\frac{1}{2}$ является безразмерной величиной и в анализе не участвует.

$[s] = [v_0] \cdot [t] + [a] \cdot [t]^2$

Подставим единицы измерения:

$м = \frac{м}{с} \cdot с + \frac{м}{с^2} \cdot с^2$

Упростим каждое слагаемое в правой части:

Первое слагаемое: $\frac{м}{с} \cdot с = м$

Второе слагаемое: $\frac{м}{с^2} \cdot с^2 = м$

Получаем тождество по размерностям:

$м = м + м$

Размерности совпадают, следовательно, и эта формула является верной с точки зрения анализа размерностей.

Ответ: Проверка через единицы физических величин подтверждает корректность полученных формул $v = v_0 + at$ и $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.

1. Ученик заменил перегоревшую медную спираль на стальную такой же площади поперечного сечения и длины. Во сколько раз изменилась сила тока, если напряжение на концах стальной спирали такое же, какое было на медной? Удельное сопротивление стали 0,12 $\frac{Ом\bullet м{м}^2}{м}$.

1. Дано:

$l_1$ — длина медной спирали
$S_1$ — площадь поперечного сечения медной спирали
$U_1$ — напряжение на медной спирали
$\rho_1$ (удельное сопротивление меди) $\approx 0,017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$ (справочное значение)
$l_2$ — длина стальной спирали
$S_2$ — площадь поперечного сечения стальной спирали
$U_2$ — напряжение на стальной спирали
$\rho_2$ (удельное сопротивление стали) = $0,12 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$l_1 = l_2 = l$
$S_1 = S_2 = S$
$U_1 = U_2 = U$

Перевод в систему СИ:
$\rho_1 \approx 0,017 \frac{Ом \cdot (10^{-3}м)^2}{м} = 0,017 \cdot 10^{-6} \ Ом \cdot м = 1,7 \cdot 10^{-8} \ Ом \cdot м$
$\rho_2 = 0,12 \frac{Ом \cdot (10^{-3}м)^2}{м} = 0,12 \cdot 10^{-6} \ Ом \cdot м = 1,2 \cdot 10^{-7} \ Ом \cdot м$
Примечание: для нахождения отношения величин перевод в СИ не является обязательным, так как множители $10^{-6}$ сократятся.

Найти:

Во сколько раз изменилась сила тока, то есть найти отношение $\frac{I_1}{I_2}$ или $\frac{I_2}{I_1}$.

Решение:

Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока $I$ прямо пропорциональна напряжению $U$ и обратно пропорциональна сопротивлению $R$:
$I = \frac{U}{R}$

Запишем это выражение для медной ($I_1$) и стальной ($I_2$) спиралей:
$I_1 = \frac{U_1}{R_1}$
$I_2 = \frac{U_2}{R_2}$

Сопротивление проводника рассчитывается по формуле:
$R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина, $S$ — площадь поперечного сечения.

Сопротивления медной и стальной спиралей:
$R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$
$R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Найдем отношение сил тока. Разделим силу тока в медной спирали на силу тока в стальной:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{U_1/R_1}{U_2/R_2} = \frac{U_1 R_2}{U_2 R_1}$

По условию задачи, напряжение, длина и площадь поперечного сечения спиралей одинаковы ($U_1=U_2$, $l_1=l_2$, $S_1=S_2$). Подставим выражения для сопротивлений в формулу отношения токов:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{U \cdot (\rho_2 \frac{l}{S})}{U \cdot (\rho_1 \frac{l}{S})}$

Сократив одинаковые величины ($U, l, S$), получим:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Подставим числовые значения удельных сопротивлений стали и меди:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{0,12 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}}{0,017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}} \approx 7,0588... \approx 7,1$

Так как отношение первоначального тока ($I_1$) к конечному ($I_2$) больше единицы, это означает, что сила тока уменьшилась.
Ответ: Сила тока уменьшилась примерно в 7,1 раза.

2. Определите сопротивление медного провода площадью поперечного сечения 2,5 мм² и длиной 40 м.

Дано:

Длина медного провода $l = 40 \, \text{м}$
Площадь поперечного сечения $S = 2,5 \, \text{мм}^2$
Удельное сопротивление меди $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$ (справочное значение)

Переведем площадь поперечного сечения в систему СИ:
$S = 2,5 \, \text{мм}^2 = 2,5 \cdot (10^{-3} \, \text{м})^2 = 2,5 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$

Найти:

Сопротивление провода $R$.

Решение:

Сопротивление проводника зависит от его длины, площади поперечного сечения и материала, из которого он изготовлен. Эта зависимость выражается формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где:

• $R$ – электрическое сопротивление (Ом),
• $\rho$ – удельное электрическое сопротивление материала (Ом·м),
• $l$ – длина проводника (м),
• $S$ – площадь поперечного сечения проводника (м²).

Все необходимые значения известны и переведены в систему СИ. Подставим их в формулу:

$R = 1,7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{40 \, \text{м}}{2,5 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2}$

Выполним расчет:

$R = \frac{1,7 \cdot 40}{2,5} \cdot \frac{10^{-8}}{10^{-6}} \, \text{Ом} = \frac{68}{2,5} \cdot 10^{-2} \, \text{Ом}$

$R = 27,2 \cdot 10^{-2} \, \text{Ом}$

$R = 0,272 \, \text{Ом}$

Ответ: сопротивление медного провода составляет $0,272 \, \text{Ом}$.

3. Напряжение на никелиновом проводнике длиной 12 м и площадью поперечного сечения 0,1 мм² равно 200 В. Какова сила тока в проводнике?

Дано:

Длина никелинового проводника, $l = 12$ м
Площадь поперечного сечения, $S = 0,1$ мм²
Напряжение на проводнике, $U = 200$ В
Удельное сопротивление никелина, $\rho = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (справочное значение)

$S = 0,1 \text{ мм}^2 = 0,1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 10^{-7} \text{ м}^2$

Силу тока, $I$

Для нахождения силы тока $I$ в проводнике воспользуемся законом Ома для участка цепи, который гласит, что сила тока прямо пропорциональна напряжению $U$ и обратно пропорциональна сопротивлению $R$: $I = \frac{U}{R}$

Сопротивление проводника $R$ можно вычислить по формуле, которая связывает его с материалом и геометрическими размерами: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ – удельное электрическое сопротивление материала, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь его поперечного сечения.

Сначала рассчитаем сопротивление никелинового проводника. Для удобства вычислений будем использовать удельное сопротивление в единицах $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ и площадь сечения в мм², так как они сокращаются: $R = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{12 \text{ м}}{0,1 \text{ мм}^2} = \frac{0,4 \cdot 12}{0,1} \text{ Ом} = \frac{4,8}{0,1} \text{ Ом} = 48 \text{ Ом}$

Теперь, зная величину сопротивления, мы можем рассчитать силу тока по закону Ома: $I = \frac{U}{R} = \frac{200 \text{ В}}{48 \text{ Ом}} = \frac{25}{6} \text{ А} \approx 4,17 \text{ А}$

Ответ: сила тока в проводнике составляет примерно 4,17 А.

4. Сварочный аппарат подсоединяют в сеть медными проводами длиной 100 м и площадью поперечного сечения 50 мм². Определите напряжение на проводах, если сила тока в них 125 А.

Дано

$L = 100 \text{ м}$
$S = 50 \text{ мм}^2$
$I = 125 \text{ А}$
Удельное сопротивление меди $\rho = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$S = 50 \text{ мм}^2 = 50 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Найти:

$U$

Решение

Напряжение на проводах (или падение напряжения) можно найти, используя закон Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R$

где $U$ – напряжение, $I$ – сила тока, а $R$ – сопротивление проводов.

Сопротивление проводов рассчитывается по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала (меди), $L$ – длина проводов, $S$ – площадь поперечного сечения.

Сначала вычислим сопротивление медных проводов:

$R = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{100 \text{ м}}{5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2} = \frac{1.7 \cdot 10^{-6}}{5 \cdot 10^{-5}} \text{ Ом} = 0.34 \cdot 10^{-1} \text{ Ом} = 0.034 \text{ Ом}$

Теперь, зная сопротивление, можем найти напряжение на проводах:

$U = 125 \text{ А} \cdot 0.034 \text{ Ом} = 4.25 \text{ В}$

Ответ: напряжение на проводах составляет 4.25 В.