Номер 859, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 859, страница 185.

Условие 2023.

859. Площадь равнобокой трапеции равна $36\sqrt{2}$ см$^2$, а острый угол - $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция, основания которой $a$ и $b$, боковые стороны равны $c$, высота равна $h$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

По условию, в трапецию можно вписать окружность. Это означает, что суммы ее противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это свойство записывается как:

$a + b = c + c = 2c$

Подставим это выражение в формулу площади:

$S = \frac{2c}{2} \cdot h = c \cdot h$

Мы знаем, что площадь равна $36\sqrt{2}$ см$^2$, следовательно:

$c \cdot h = 36\sqrt{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (как гипотенуза), высотой $h$ (как катет) и острым углом трапеции, который по условию равен $45^\circ$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(45^\circ) = \frac{h}{c}$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, мы можем выразить $c$ через $h$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{c} \implies c = \frac{2h}{\sqrt{2}} = h\sqrt{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $c$ в уравнение площади $c \cdot h = 36\sqrt{2}$:

$(h\sqrt{2}) \cdot h = 36\sqrt{2}$

$h^2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$h^2 = 36$

Так как высота не может быть отрицательной, извлекаем квадратный корень:

$h = \sqrt{36} = 6$ (см)

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

859. Площадь равнобокой трапеции равна $36\sqrt{2}$ см$^2$, а острый угол – $45^\circ$.

Найдите высоту трапеции, если в нее можно вписать окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).