Номер 857, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 857, страница 185.

Условие 2023.

857. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота – $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен $150^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция. Обозначим её основания как $a$ (большее) и $b$ (меньшее), а высоту как $h$.По условию, меньшее основание $b = 15$ см, а высота $h = 3\sqrt{3}$ см.

Один из углов трапеции равен $150°$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Так как $150°$ — тупой угол, он может быть только при меньшем основании. Углы при большем основании в равнобокой трапеции острые.Следовательно, острый угол трапеции, который находится при большем основании, равен:$180° - 150° = 30°$.

Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором одним из катетов является высота трапеции ($h = 3\sqrt{3}$ см), а противолежащий ему угол равен $30°$. Другой катет этого треугольника (назовем его $x$) является частью большего основания.

Найдем длину катета $x$ с помощью тангенса или котангенса угла $30°$:$\text{ctg}(30°) = \frac{x}{h}$$x = h \cdot \text{ctg}(30°)$Так как $\text{ctg}(30°) = \sqrt{3}$, получаем:$x = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

В равнобокой трапеции высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании два равных отрезка. Поэтому большее основание $a$ равно сумме меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$:$a = b + 2x = 15 + 2 \cdot 9 = 15 + 18 = 33$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, мы можем найти площадь трапеции по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставим наши значения:$S = \frac{33+15}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{48}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 24 \cdot 3\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см².

Ответ: $72\sqrt{3}$ см².

Условие 2015-2022.

857. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота – $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен $150^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).