Номер 856, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 856, страница 184.

Условие 2023.

856. Острый угол прямоугольного треугольника равен $\alpha$, а гипотенуза равна $c$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Обозначим катеты этого треугольника как $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов:$S = \frac{1}{2}ab$

Для нахождения площади необходимо выразить длины катетов $a$ и $b$ через известные величины — гипотенузу $c$ и угол $\alpha$. Воспользуемся определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Пусть катет $a$ является противолежащим к углу $\alpha$. По определению синуса:$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$Отсюда выразим катет $a$:$a = c \cdot \sin(\alpha)$

Катет $b$ является прилежащим к углу $\alpha$. По определению косинуса:$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$Отсюда выразим катет $b$:$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Теперь подставим полученные выражения для катетов $a$ и $b$ в формулу площади треугольника:$S = \frac{1}{2} \cdot (c \cdot \sin(\alpha)) \cdot (c \cdot \cos(\alpha))$$S = \frac{1}{2} c^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Данное выражение можно также преобразовать, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$. Из нее следует, что $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.Подставив это в нашу формулу для площади, получим:$S = \frac{1}{2} c^2 \left( \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \right) = \frac{c^2 \sin(2\alpha)}{4}$

Оба полученных выражения для площади являются верными.

Ответ: $S = \frac{1}{2} c^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ (или $S = \frac{c^2 \sin(2\alpha)}{4}$).

Условие 2015-2022.

856. Острый угол прямоугольного треугольника равен $\alpha$, а гипотенуза равна $c$. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).