Номер 858, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 858, страница 185.

Условие 2023.

858. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении $5 : 13$. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 90 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причем AD > BC. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Высота трапеции h = 90 см.

1. Рассмотрим свойства трапеции, исходя из условия задачи. По условию, диагональ AC является биссектрисой острого угла ∠DAB. Это означает, что ∠BAC = ∠CAD. Так как основания трапеции параллельны (AD || BC), то углы ∠CAD и ∠BCA являются накрест лежащими углами при секущей AC. Следовательно, ∠CAD = ∠BCA. Из этих двух равенств следует, что ∠BAC = ∠BCA. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, и его боковые стороны AB и BC равны: AB = BC. Поскольку трапеция ABCD равнобокая, ее боковые стороны равны: AB = CD. Таким образом, мы получаем, что боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: AB = CD = BC.

2. Рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей. Треугольник AOD подобен треугольнику COB. Это следует из равенства углов: ∠AOD = ∠COB как вертикальные, а ∠OAD = ∠OCB и ∠ODA = ∠OBC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущих AC и BD соответственно. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} $ По условию, диагонали точкой пересечения делятся в отношении 5:13. Так как AO и DO — отрезки, прилежащие к большему основанию, а CO и BO — к меньшему, то $ \frac{CO}{AO} = \frac{BO}{DO} = \frac{5}{13} $. Следовательно, отношение оснований трапеции равно: $ \frac{BC}{AD} = \frac{5}{13} $ Обозначим меньшее основание BC через b, а большее AD через a. Тогда $ \frac{b}{a} = \frac{5}{13} $, откуда $ a = \frac{13}{5}b $.

3. Найдем длины оснований, используя высоту трапеции. Проведем из вершины B высоту BH к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник ABH. В равнобокой трапеции длина отрезка AH, отсекаемого высотой на большем основании, вычисляется по формуле: $ AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a - b}{2} $ Подставим в эту формулу выражение для a: $ AH = \frac{\frac{13}{5}b - b}{2} = \frac{\frac{8}{5}b}{2} = \frac{4}{5}b $ Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABH ($AB^2 = AH^2 + BH^2$). Мы знаем, что гипотенуза AB = b, катет BH = h = 90 см, а катет $ AH = \frac{4}{5}b $. $ b^2 = (\frac{4}{5}b)^2 + 90^2 $ $ b^2 = \frac{16}{25}b^2 + 8100 $ $ b^2 - \frac{16}{25}b^2 = 8100 $ $ \frac{9}{25}b^2 = 8100 $ $ b^2 = \frac{8100 \cdot 25}{9} = 900 \cdot 25 = 22500 $ $ b = \sqrt{22500} = 150 $ см. Итак, меньшее основание BC = 150 см. Найдем большее основание AD: $ a = \frac{13}{5}b = \frac{13}{5} \cdot 150 = 13 \cdot 30 = 390 $ см.

4. Вычислим площадь трапеции. Площадь трапеции находится по формуле $ S = \frac{a+b}{2}h $. $ S = \frac{390 + 150}{2} \cdot 90 = \frac{540}{2} \cdot 90 = 270 \cdot 90 = 24300 $ см².

Ответ: 24300 см².

Условие 2015-2022.

858. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 90 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).