Номер 852, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 852, страница 184.

Условие 2023.

852. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $BD \perp AD$, $BD = 16 \text{ см}$, $\angle A = 45^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Для нахождения площади параллелограмма ABCD воспользуемся формулой $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона (основание), а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

По условию задачи, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$ ($BD \perp AD$). Это означает, что если мы примем сторону $AD$ за основание параллелограмма, то диагональ $BD$ будет являться его высотой. Таким образом, $a = AD$ и $h = BD$.

Формула площади для нашего случая примет вид: $S_{ABCD} = AD \cdot BD$.

Длина высоты $BD$ нам известна из условия: $BD = 16$ см. Теперь нам нужно найти длину основания $AD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как $BD \perp AD$, то $\angle BDA = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABD$ — прямоугольный. Также по условию нам известен угол $\angle A = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\triangle ABD$ — $\angle ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - \angle BDA - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABD$ два угла равны ($\angle A = \angle ABD = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В нашем случае это катеты $AD$ и $BD$.

Следовательно, $AD = BD = 16$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма, зная длину основания и высоты:

$S_{ABCD} = AD \cdot BD = 16 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 256 \text{ см}^2$.

Ответ: $256 \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

852. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $BD \perp AD$, $BD = 16$ см, $\angle A = 45^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).