Номер 846, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Решение прямоугольных треугольников. Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса - номер 846, страница 183.

Условие 2023.

846. Из точки $K$, лежащей вне прямой $a$, проведены к этой прямой наклонные $KA$ и $KB$, которые образуют с ней углы $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $KB$ на прямую $a$, если $KA = 8\sqrt{6}$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть из точки К на прямую a опущен перпендикуляр КН. Тогда отрезок АН является проекцией наклонной КА на прямую а, а отрезок ВН — проекцией наклонной КВ на прямую а.Треугольники KHA и KHB являются прямоугольными (с прямым углом при вершине Н).

По условию, угол между наклонной и прямой — это угол между наклонной и ее проекцией на эту прямую. Следовательно, $\angle KAH = 45^{\circ}$ и $\angle KBH = 30^{\circ}$.

Два прямоугольных треугольника KHA и KHB имеют общий катет KH. Найдем его длину из треугольника KHA, где известна гипотенуза $KA = 8\sqrt{6}$ см.

В прямоугольном треугольнике KHA катет KH, противолежащий углу в $45^{\circ}$, равен произведению гипотенузы KA на синус этого угла:$KH = KA \cdot \sin(\angle KAH) = 8\sqrt{6} \cdot \sin(45^{\circ})$Так как $\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:$KH = 8\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KHB. В нем известен катет $KH = 8\sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle KBH = 30^{\circ}$. Искомая проекция — это катет BH.Связь между катетами и углом можно выразить через тангенс или котангенс.

Используем котангенс:$\cot(\angle KBH) = \frac{BH}{KH}$Отсюда выразим BH:$BH = KH \cdot \cot(\angle KBH) = 8\sqrt{3} \cdot \cot(30^{\circ})$Так как $\cot(30^{\circ}) = \sqrt{3}$, получаем:$BH = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

Условие 2015-2022.

846. Из точки $K$, лежащей вне прямой $a$, проведены к этой прямой наклонные $KA$ и $KB$, которые образуют с ней углы $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $KB$ на прямую $a$, если $KA = 8\sqrt{6}$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).